La Bissectrice d’un Angle

La bissectrice d’un angle est une demi-droite issue du sommet qui partage un angle en deux angles de même mesure. Les deux angles obtenus sont donc congruents.

Prenons un angle de 60°.

La bissectrice est la demi-droite qui part du sommet et divise cet angle en deux angles égaux de 30°.

Équation de la Bissectrice d’un Angle

L’équation des bissectrices des angles formés par l’intersection de deux droites est donnée par :

$$ \frac{ax+by+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} = \pm \frac{a'x+b'y+c'}{ \sqrt{a'^2+b'^2}} $$

Cette relation permet de déterminer les deux bissectrices associées à deux droites sécantes.

Le symbole ± indique qu’il existe deux bissectrices distinctes : l’une correspond aux angles aigus, l’autre aux angles obtus formés par les deux droites.

Exemple

Considérons les deux droites suivantes :

$$ r: \ x - y = 0 $$

$$ s: \ x + y - 4 = 0 $$

Ces deux droites sont sécantes.

Appliquons l’équation générale des bissectrices :

$$ \frac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \pm \frac{a'x + b'y + c'}{\sqrt{a'^2 + b'^2}} $$

Dans cet exemple, les coefficients sont :

a=1, b=-1, c=0 et a'=1, b'=1, c'=-4.

On obtient alors :

$$ \frac{x - y }{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y -4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} $$

$$ \frac{x - y }{\sqrt{2}} = \pm \frac{x + y -4}{\sqrt{2}} $$

Le facteur \(\sqrt{2}\) étant présent dans les deux membres, on peut le simplifier :

$$ \frac{x - y }{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = \pm \frac{x + y -4}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} $$

$$ x - y = \pm ( x + y - 4 ) $$

Étudions maintenant les deux cas possibles.

• Premier cas : signe positif (+)
  $$ x - y = x + y - 4 $$ En regroupant les termes semblables : $$ -2y = -4 $$ On obtient : $$ y = 2 $$ La première bissectrice est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses.
• Second cas : signe négatif (-)
  $$ x - y = -(x + y - 4) $$ $$ x - y = -x - y + 4 $$ En regroupant les termes semblables : $$ 2x = 4 $$ On obtient : $$ x = 2 $$ La seconde bissectrice est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Les deux bissectrices des angles formés par ces droites ont donc pour équations :

$$ y = 2 $$

et

$$ x = 2 $$

Propriétés de la Bissectrice

La bissectrice possède plusieurs propriétés importantes en géométrie.

• Tout angle possède une unique bissectrice.
• Deux droites sécantes déterminent deux bissectrices perpendiculaires.
  Lorsque deux droites se coupent, elles forment deux angles aigus et deux angles obtus opposés par le sommet. Les bissectrices associées à ces angles sont perpendiculaires entre elles.
  Par exemple, si deux droites forment un angle aigu de 45°, l’angle opposé par le sommet mesure également 45°. Les deux autres angles mesurent alors 135°, puisque : $$ 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$
• Deux angles opposés par le sommet possèdent la même bissectrice.
• Tout point appartenant à la bissectrice est situé à égale distance des côtés de l’angle.
  La bissectrice constitue donc un lieu géométrique.

Démonstration. Considérons un point P situé sur la bissectrice r de l’angle. La bissectrice partage l’angle en deux angles congruents α≅α'. Traçons le segment OP reliant le sommet au point P, puis les segments perpendiculaires AP et BP reliant P aux côtés de l’angle. Les triangles OAP et OBP possèdent deux angles congruents et un côté commun (OP). Ils sont donc congruents selon le deuxième critère de congruence des triangles. Par conséquent, les côtés correspondants sont égaux : $$ AP \equiv BP $$ Tout point situé sur la bissectrice est donc équidistant des côtés de l’angle.
Démonstration réciproque. Montrons maintenant que tout point équidistant des côtés d’un angle appartient à la bissectrice. Supposons qu’un point P vérifie : $$ AP \equiv BP $$ Les segments AP et BP étant perpendiculaires aux côtés de l’angle, les triangles rectangles OAP et OBP possèdent deux côtés correspondants égaux ainsi qu’une hypoténuse commune OP. Les deux triangles sont donc congruents. Les angles α et α' sont alors égaux, ce qui montre que le segment OP appartient à la bissectrice de l’angle. Ainsi, tout point équidistant des côtés d’un angle appartient nécessairement à sa bissectrice.

Et ainsi de suite.