Équations des bissectrices d’un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui partage l'angle en deux angles de même mesure. Son équation générale s'écrit :
$$ \frac{ax+by+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} = \pm \frac{a'x+b'y+c'}{ \sqrt{a'^2+b'^2}} $$
Cette formule permet de déterminer les deux bissectrices associées à l'intersection de deux droites.
Le symbole ± indique qu'il existe toujours deux bissectrices : l'une partage les angles aigus, l'autre les angles obtus formés par les deux droites.
Remarque : Cette formule repose sur une propriété fondamentale de la géométrie : tout point situé sur une bissectrice est à égale distance des deux côtés de l'angle. La bissectrice représente donc le lieu géométrique des points équidistants des deux droites.
Exemple pratique
Considérons les deux droites suivantes :
$$ r : 3x+4y-6=0 $$
$$ s : 4x-3y-4=0 $$
Ces deux droites sont sécantes. Elles déterminent quatre angles : deux angles aigus et deux angles obtus.
Pour calculer les équations des bissectrices, on applique la formule générale :
$$ \frac{ax+by+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} = \pm \frac{a'x+b'y+c'}{ \sqrt{a'^2+b'^2}} $$
On remplace ensuite les coefficients des deux droites :
$$ a=3,\ b=4,\ c=-6 $$
$$ a'=4,\ b'=-3,\ c'=-4 $$
On obtient :
$$ \frac{3x+4y-6}{ \sqrt{3^2+4^2}} = \pm \frac{4x-3y-4}{ \sqrt{4^2+(-3)^2}} $$
$$ \frac{3x+4y-6}{ \sqrt{9+16}} = \pm \frac{4x-3y-4}{ \sqrt{16+9}} $$
$$ \frac{3x+4y-6}{ \sqrt{25}} = \pm \frac{4x-3y-4}{ \sqrt{25}} $$
$$ \frac{3x+4y-6}{5} = \pm \frac{4x-3y-4}{5} $$
On multiplie maintenant les deux membres par 5 :
$$ \frac{3x+4y-6}{5} \cdot 5 = \pm \frac{4x-3y-4}{5} \cdot 5 $$
$$ 3x+4y-6 = \pm (4x-3y-4) $$
Il faut alors étudier les deux cas possibles.
- Premier cas (+)
$$ 3x+4y-6 = 4x-3y-4 $$
$$ 3x+4y-6 -4x+3y+4 =0 $$
Après simplification :
$$ -x+7y-2=0 $$
On obtient ainsi l'équation d'une première bissectrice.
- Second cas (-)
$$ 3x+4y-6 = -(4x-3y-4) $$
$$ 3x+4y-6 = -4x+3y+4 $$
$$ 3x+4y-6 +4x-3y-4 =0 $$
Après simplification :
$$ 7x+y-10=0 $$
On obtient alors l'équation de la seconde bissectrice.
Les deux équations obtenues correspondent donc aux deux bissectrices des angles formés par les droites r et s.
Démonstration
Un angle est formé par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet.
Considérons les deux droites :
$$ r : \ ax+by+c=0 $$
$$ s : \ a'x+b'y+c'=0 $$
Par définition, la bissectrice d'un angle est l'ensemble des points situés à égale distance des deux côtés de l'angle.
Autrement dit, la bissectrice est le lieu géométrique des points équidistants des deux droites.
Considérons un point P situé sur la bissectrice.
La distance entre P et la droite r est représentée par le segment $ \overline{AP} $, perpendiculaire à la droite r.
De manière analogue, la distance entre P et la droite s est représentée par le segment $ \overline{BP} $.
Le point P appartient à la bissectrice si, et seulement si, les deux distances sont égales :
$$ \overline{AP} \cong \overline{BP} $$
ce qui revient à écrire :
$$ D(P,r)=D(P,s) $$
La distance entre un point P(x;y) et une droite r est donnée par la formule :
$$ D(P,r)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
De même, la distance entre le point P et la droite s vaut :
$$ D(P,s)=\frac{|a'x+b'y+c'|}{\sqrt{a'^2+b'^2}} $$
Remarque : Les valeurs absolues sont indispensables, car une distance est toujours positive ou nulle.
En remplaçant ces expressions dans l'égalité précédente, on obtient :
$$ \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a'x+b'y+c'|}{\sqrt{a'^2+b'^2}} $$
Il reste toutefois un point important à préciser.
Lorsque deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Il existe donc deux bissectrices distinctes.
L'une partage les angles aigus, tandis que l'autre partage les angles obtus.
Pour obtenir les deux équations, on supprime la valeur absolue dans un membre de l'égalité et l'on considère les deux signes possibles dans l'autre membre :
$$ \frac{ax+by+c}{ \sqrt{a^2+b^2}} = \pm \frac{a'x+b'y+c'}{ \sqrt{a'^2+b'^2}} $$
On obtient ainsi la formule générale des bissectrices associées à deux droites sécantes.
Et ainsi de suite.
