Postulat d'Archimède-Eudoxe appliqué aux angles

Le postulat d’Archimède-Eudoxe affirme que, pour deux angles non congruents de mesure strictement positive, il est toujours possible de trouver un multiple du plus petit angle dont la mesure dépasse celle du plus grand angle.

Cette propriété occupe une place importante en géométrie euclidienne, car elle exprime l’idée qu’un angle, même très petit, peut finir par dépasser un angle plus grand lorsqu’il est additionné un nombre suffisant de fois.

Le postulat doit son nom aux mathématiciens grecs Eudoxe et Archimède, qui l’ont formulé et utilisé dans leurs démonstrations mathématiques.

Remarque : il s’agit d’une application du célèbre postulat d’Archimède-Eudoxe sur les segments au cas particulier des angles.

Exemple pratique

Considérons deux angles, alpha et bêta.

Supposons que les deux angles aient une mesure strictement positive :

$$ \alpha = 25° $$

$$ \beta = 60° $$

Les deux angles ne sont pas congruents, puisque l’angle bêta possède une mesure supérieure à celle de l’angle alpha.

Le postulat affirme alors qu’il existe un multiple du plus petit angle (alpha) dont la mesure finit par dépasser celle du plus grand angle (bêta).

Dans cet exemple, il suffit de prendre trois fois l’angle alpha :

$$ 3 \cdot \alpha > \beta $$

$$ 3 \cdot 25° > 60° $$

$$ 75° > 60° $$

Le triple de l’angle alpha dépasse donc bien la mesure de l’angle bêta.

De manière générale, quelles que soient les mesures de deux angles non congruents et strictement positifs, on pourra toujours trouver un multiple du plus petit angle supérieur au plus grand.

Et ainsi de suite.