Relations entre les angles en géométrie

En géométrie, on appelle angles associés des angles reliés entre eux par une relation géométrique précise.

Ces relations peuvent dépendre de leur mesure, de leur position ou encore de leur disposition par rapport à des droites. Elles permettent de mieux comprendre les propriétés des figures géométriques et jouent un rôle essentiel aussi bien en géométrie plane qu’en trigonométrie.

Les relations entre angles selon leur mesure

Deux angles sont dits associés par leur mesure lorsque la somme de leurs amplitudes correspond à un angle particulier ou à un multiple de celui-ci.

Les principaux cas sont les suivants :

• Angles complémentaires
  Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à un angle droit, c’est-à-dire 90° ou π/2 radians.
  
• Angles supplémentaires
  Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à un angle plat, soit 180° ou π radians.
  
• Angles explementaires
  Deux angles sont explementaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à un angle plein, soit 360° ou 2π radians.
  

Les relations entre angles selon leur position

Deux angles sont associés par leur position lorsqu’ils partagent un ou plusieurs côtés, ou les prolongements de ceux-ci.

Selon leur disposition, on distingue plusieurs catégories :

• Angles consécutifs
  Deux angles sont consécutifs lorsqu’ils possèdent le même sommet et un côté commun.
  
• Angles adjacents
  Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont le même sommet, un côté commun, et que leurs côtés non communs appartiennent à une même droite.
  

  Remarque : Les angles adjacents constituent un cas particulier d’angles consécutifs. Les côtés non communs sont alignés sur une même droite. Deux angles adjacents sont toujours supplémentaires, puisque leur somme vaut 180°.

• Angles opposés par le sommet
  Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils ne sont pas consécutifs, qu’ils possèdent le même sommet et que les côtés de l’un prolongent ceux de l’autre.
  
  Par exemple, les angles α et α' sont des angles opposés par le sommet.
  

  Remarque : Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux, car ils ont exactement la même mesure.

Relations entre angles formés par deux droites coupées par une transversale

Considérons deux droites « r » et « s » coupées par une droite transversale « t ». Cette configuration forme huit angles liés entre eux par différentes relations géométriques.

Les principales relations entre ces angles sont les suivantes :

• Angles alternes
  Ce sont des paires d’angles situées de part et d’autre de la droite transversale « t » et ne possédant pas le même sommet.
  

  On distingue les angles alternes-internes et les angles alternes-externes selon qu’ils sont situés entre les droites « r » et « s » ou à l’extérieur de celles-ci. Par exemple, les couples d’angles (γ, α') et (β, δ') sont des angles alternes-internes.
  
  Les couples d’angles (α, γ') et (δ, β') sont des angles alternes-externes.
  

• Angles collatéraux
  Ce sont des paires d’angles situées du même côté de la transversale « t » sans partager le même sommet.
  

  On distingue les angles collatéraux-internes et les angles collatéraux-externes selon qu’ils sont situés entre les droites « r » et « s » ou à l’extérieur de celles-ci. Par exemple, les couples d’angles (β, α') et (γ, δ') sont des angles collatéraux-internes.
  
  À l’inverse, les couples d’angles (α, β') et (δ, γ') sont des angles collatéraux-externes.
  
  Lorsque les droites « r » et « s » sont parallèles, les angles collatéraux-internes sont supplémentaires, car leur somme est égale à 180°.

• Angles correspondants
  Ce sont des paires d’angles situées du même côté de la transversale « t », dont l’un est intérieur et l’autre extérieur par rapport aux deux droites.
  

  Par exemple, les couples d’angles (α, α'), (β, β'), (γ, γ') et (δ, δ') sont appelés angles correspondants.
  
  Les angles correspondants sont égaux uniquement lorsque les droites « r » et « s » sont parallèles.

Angles associés en trigonométrie

En trigonométrie, l’expression « angles associés » désigne des couples d’angles reliés par des identités trigonométriques particulières.

Ces relations permettent de transformer certaines expressions trigonométriques et de simplifier de nombreux calculs.

Parmi les principales identités trigonométriques, on peut citer :

$$ \sin (- \alpha) = - \sin (\alpha) $$

$$ \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos (\alpha) $$

$$ \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos (\alpha) $$

$$ \sin (\pi - \alpha) = \sin (\alpha) $$

$$ \cos (- \alpha) = \cos (\alpha) $$

$$ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) = \sin (\alpha) $$

$$ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin (\alpha) $$

$$ \cos (\pi - \alpha) = - \cos (\alpha) $$

$$ \tan (- \alpha) = - \tan (\alpha) $$

$$ \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cot (\alpha) $$

$$ \tan \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \cot (\alpha) $$

$$ \tan (\pi - \alpha) = - \tan (\alpha) $$

Et ainsi de suite.