Angles complémentaires

On appelle angles complémentaires deux angles dont la somme est égale à 90°, soit π/2 radians.

Autrement dit, ces deux angles s'assemblent pour former un angle droit. Chacun complète l'autre.

Remarque : peu importe la mesure de chaque angle pris séparément, à condition que leur somme soit égale à 90°.

Exemple

Considérons deux angles, notés α et β :

$$ \alpha = 30° $$

$$ \beta = 60° $$

En les additionnant, on obtient :

$$ \alpha + \beta = 30° + 60° = 90° $$

Ces deux angles sont donc complémentaires.

Tout angle admet un angle complémentaire.

Prenons par exemple :

$$ \alpha = 20° $$

Pour trouver son complémentaire, il suffit de soustraire sa mesure à 90° :

$$ \beta = 90° - \alpha $$

$$ \beta = 90° - 20° $$

$$ \beta = 70° $$

L'angle complémentaire de 20° est donc 70°.

Propriétés

Les angles complémentaires possèdent plusieurs propriétés importantes en géométrie et en trigonométrie :

• Si deux angles, α et β, sont complémentaires d'un même angle γ, alors ils ont la même mesure. $$ \alpha + \gamma = 90° \ , \ \beta + \gamma = 90° \ \Longrightarrow \ \alpha \cong \beta $$

  Démonstration : si γ est fixé, les deux autres angles doivent compléter la même valeur, 90 degrés. On a $$ \alpha + \gamma = 90° $$ et $$ \beta + \gamma = 90° $$ En isolant γ dans la seconde équation, $$ \gamma = 90° - \beta $$ puis en substituant dans la première, on obtient : $$ \alpha + ( 90° - \beta ) = 90° $$ $$ \require{cancel} \alpha + \cancel{90°} - \beta = \cancel{90°} $$ $$ \alpha - \beta = 0° $$ donc $$ \alpha = \beta $$ Les angles sont donc congruents.

• Si un angle est complémentaire d'un second, et que ce second est complémentaire d'un troisième, alors le premier et le troisième sont égaux. $$ \alpha + \beta = 90° \ , \ \beta + \gamma = 90° \ \Longrightarrow \ \alpha \cong \gamma $$

  Démonstration : on a $$ \alpha + \beta = 90° $$ et $$ \beta + \gamma = 90° $$ En remplaçant $$ \beta = 90° - \gamma $$ dans la première équation : $$ \alpha + ( 90° - \gamma ) = 90° $$ $$ \require{cancel} \alpha + \cancel{90°} - \gamma = \cancel{90°} $$ $$ \alpha - \gamma = 0° $$ d'où $$ \alpha = \gamma $$

• Deux angles complémentaires d'un même angle sont toujours égaux.

  Démonstration : à partir de $$ \alpha + \gamma = 90° $$ et $$ \beta + \gamma = 90° $$ on obtient $$ \alpha = 90° - \gamma $$ et $$ \beta = 90° - \gamma $$ Ainsi, $$ \alpha = \beta $$

• Si deux angles complémentaires sont associés à deux angles congruents, alors ils sont eux-mêmes congruents : $$ \alpha \cong \beta $$ 

  Démonstration : on a $$ \alpha + \gamma_1 = 90^\circ $$ et $$ \beta + \gamma_2 = 90^\circ $$ Comme $$ \gamma_1 \cong \gamma_2 $$ on en déduit $$ \alpha = 90^\circ - \gamma_1 $$ et $$ \beta = 90^\circ - \gamma_2 $$ Donc $$ \alpha = \beta $$

• Le sinus d'un angle est égal au cosinus de son angle complémentaire. $$ \alpha + \beta = 90° \Longrightarrow \sin( \alpha ) = \cos( \beta ) $$

  Par exemple, $$ 70° + 20° = 90° $$ On a donc $$ \cos(70°) = \sin(20°) \approx 0.94 $$ Cette relation est fondamentale en trigonométrie.
  
  Démonstration : considérons le cercle trigonométrique et un angle α formant le triangle rectangle OAB.
  
  Le sinus de α est $$ \sin \alpha = \frac{ \overline{AB} }{ \overline{OB} } $$ et le cosinus est $$ \cos \alpha = \frac{ \overline{OA} }{ \overline{OB} } $$
  Si β est complémentaire de α, alors $$ \alpha + \beta = 90° $$
  Comme $$ \overline{OA} \cong \overline{CB} $$ on peut écrire $$ \cos \alpha = \frac{ \overline{CB} }{ \overline{OB} } $$ ce qui correspond au sinus de β. Donc $$ \cos \alpha = \sin \beta $$
  De manière analogue, puisque $$ \overline{AB} = \overline{OC} $$ on obtient $$ \sin \alpha = \cos \beta $$
  Les deux relations sont ainsi démontrées.

Les angles complémentaires jouent un rôle central en géométrie et apparaissent dans de nombreuses applications concrètes.

On les rencontre notamment en architecture et en ingénierie, où les angles droits sont omniprésents, mais aussi en navigation, en cartographie et dans de nombreuses disciplines scientifiques.