Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l'angle droit.

Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

Le triangle rectangle est l'une des figures les plus importantes de la géométrie. Derrière sa forme très simple se cachent des propriétés essentielles qui en font un outil indispensable en trigonométrie, en géométrie, en physique, en architecture, en topographie et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques.

L'histoire du triangle rectangle remonte à l'Antiquité. Les Égyptiens l'utilisaient notamment pour les travaux d'arpentage et la construction de monuments. Les astronomes babyloniens établirent des tables numériques qui annonçaient les futures méthodes trigonométriques destinées aux calculs astronomiques. Plus tard, les mathématiciens grecs, parmi lesquels Hipparque, développèrent la trigonométrie. Quant à Pythagore, son nom est aujourd'hui associé à l'un des théorèmes les plus célèbres de l'histoire des mathématiques : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, la somme des aires des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit est égale à l'aire du carré construit sur l'hypoténuse.

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Dans cette égalité, \( a \) et \( b \) représentent les longueurs des deux côtés de l'angle droit, tandis que \( c \) désigne la longueur de l'hypoténuse.

En d'autres termes, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est exactement égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les autres côtés.

Cette propriété implique également que l'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle.

En prenant la racine carrée des deux membres de l'égalité, on obtient :

$$ \sqrt{c^2} = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Comme \( c \) est une longueur, elle est toujours positive. L'expression se simplifie donc en :

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Cette formule est l'un des résultats fondamentaux de la géométrie euclidienne. Elle est encore utilisée aujourd'hui dans de nombreux domaines, notamment pour calculer des distances, concevoir des ouvrages, réaliser des relevés topographiques ou résoudre des problèmes de physique et de navigation.

Hauteur d'un triangle rectangle relative à l'hypoténuse

La hauteur d'un triangle rectangle relative à l'hypoténuse s'obtient en multipliant les longueurs des deux côtés de l'angle droit, puis en divisant le résultat par la longueur de l'hypoténuse : $$ h = \frac{a \times b}{c} $$ où \( a \) et \( b \) représentent les longueurs des côtés de l'angle droit, \( c \) la longueur de l'hypoténuse et \( h \) la hauteur relative à celle-ci.

Cette formule provient d'une propriété simple : l'aire d'un triangle peut être calculée de plusieurs façons selon la base choisie et la hauteur correspondante.

Exemple

Considérons le triangle rectangle suivant, dont les longueurs des trois côtés sont connues.

Nous voulons calculer la hauteur \( h \) relative à l'hypoténuse \( c \).

Nous appliquons la formule :

$$ h = \frac{a \times b}{c} $$

Dans cet exemple, les deux côtés de l'angle droit mesurent \( a=3 \) et \( b=4 \), tandis que l'hypoténuse mesure \( c=5 \).

$$ h = \frac{3 \times 4}{5} $$

$$ h = \frac{12}{5} $$

$$ h = 2,4 $$

La hauteur relative à l'hypoténuse vaut donc :

$$ h = 2,4 $$

Le résultat a été vérifié à l'aide du logiciel GeoGebra.

Démonstration

Montrons maintenant pourquoi la formule suivante est correcte :

$$ h = \frac{a \times b}{c} $$

De manière générale, la hauteur \( h \) d'un triangle, quel que soit le type de triangle considéré, est donnée par la formule :

$$ h = \frac{2 \cdot A}{\text{base}} $$

où \( A \) désigne l'aire du triangle et base la longueur du côté choisi comme base.

En effet, l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une base par la hauteur qui lui est associée.

$$ A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} $$

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont perpendiculaires. L'un peut donc être choisi comme base et l'autre comme hauteur.

L'aire du triangle s'écrit alors :

$$ A = \frac{a \cdot b}{2} $$

Remplaçons cette expression dans la formule générale :

$$ h = \frac{2 \cdot A}{\text{base}} $$

$$ h = \frac{2 \cdot \left(\frac{a \cdot b}{2}\right)}{\text{base}} $$

En simplifiant le facteur 2, on obtient :

$$ h = \frac{a \cdot b}{\text{base}} $$

Si l'on choisit l'hypoténuse \( c \) comme base, la formule devient :

$$ h = \frac{a \cdot b}{c} $$

Nous obtenons ainsi la formule recherchée.

La hauteur d'un triangle rectangle relative à l'hypoténuse est donc égale au produit des longueurs des deux côtés de l'angle droit divisé par la longueur de l'hypoténuse.

Cette relation est particulièrement utile dans des démonstrations et des problèmes de géométrie plus avancés. En géométrie analytique, par exemple, je l'ai utilisée pour démontrer la distance d'un point à une droite dans le plan cartésien.

Démonstration alternative. Il existe une autre manière d'établir cette formule en exprimant l'aire du triangle de deux façons différentes. Considérons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs \( a \) et \( b \), et dont l'hypoténuse mesure \( c \). Comme ces deux côtés sont perpendiculaires, l'aire du triangle vaut : $$ A = \frac{1}{2}ab $$ Si l'on prend maintenant l'hypoténuse comme base, la hauteur correspondante est \( h \), ce qui donne : $$ A = \frac{1}{2}ch $$ Ces deux expressions représentant la même aire, on peut écrire : $$ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch $$ En multipliant les deux membres par \( 2 \), on obtient : $$ ab = ch $$ Enfin, en divisant les deux membres par \( c \), on trouve : $$ \frac{ab}{c} = h $$ soit, sous la forme habituelle : $$ h = \frac{ab}{c} $$ Cette démonstration confirme que la hauteur relative à l'hypoténuse est égale au produit des longueurs des deux côtés de l'angle droit divisé par la longueur de l'hypoténuse.

Critères d'égalité des triangles rectangles

Les triangles rectangles vérifient plusieurs critères d'égalité spécifiques. Lorsqu'un seul de ces critères est satisfait, il est possible d'affirmer que les deux triangles sont isométriques, c'est-à-dire parfaitement superposables.

• Deux triangles rectangles sont isométriques si leurs côtés de l'angle droit ont respectivement la même longueur.
  

  Démonstration : D'après le premier cas d'égalité des triangles (CAC), deux triangles sont isométriques lorsqu'ils possèdent deux côtés respectivement de même longueur et que l'angle compris entre ces côtés a la même mesure. Dans un triangle rectangle, cet angle est toujours un angle droit de 90°. Il suffit donc que les deux côtés de l'angle droit soient respectivement de même longueur pour conclure que les deux triangles rectangles sont isométriques.

• Deux triangles rectangles sont isométriques s'ils possèdent un côté correspondant de même longueur et un angle aigu correspondant de même mesure.

  Démonstration : Les deux triangles possèdent déjà un angle droit de même mesure. Si un angle aigu correspondant est également de même mesure, alors le troisième angle l'est nécessairement aussi, puisque la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°. Si l'on connaît en plus un côté correspondant de même longueur, le cas d'égalité fondé sur deux angles et un côté correspondant permet de conclure que les deux triangles sont isométriques.

• Deux triangles rectangles sont isométriques s'ils possèdent une hypoténuse de même longueur et un côté de l'angle droit de même longueur.
  

  Démonstration : Supposons que les triangles ABC et A'B'C' possèdent un côté de l'angle droit de même longueur, AB≅A'B', ainsi que des hypoténuses de même longueur, BC≅B'C'. Construisons un triangle ACD isométrique au triangle A'B'C' et partageant le côté AC avec le triangle ABC.
  
  Comme le triangle ACD est isométrique au triangle A'B'C', on a CD≅B'C'. Or BC≅B'C' par hypothèse. On en déduit que BC≅CD. Le triangle BCD est donc un triangle isocèle dont la base est BD. Les angles à la base sont alors égaux : β≅γ.
  
  Les triangles ABC et ACD sont tous deux rectangles en A. Ils possèdent donc un angle droit commun, le côté AC en commun et les angles β et γ de même mesure. D'après le cas d'égalité fondé sur deux angles et un côté correspondant, les triangles ABC≅ACD sont isométriques. Comme, par construction, ACD≅A'B'C', la transitivité permet de conclure que ABC≅A'B'C'.
  
  
  Démonstration alternative
  Considérons deux triangles rectangles ABC et A'B'C', rectangles respectivement en B et en B'. Supposons que BC≅B'C' et AC≅A'C'. Nous voulons montrer que les deux triangles sont isométriques.
  
  Prolongeons le segment A'B' au-delà de B' et choisissons un point D tel que B'D≅AB. Relions ensuite D à C'. Les points A', B' et D étant alignés, l'angle DB'C' est supplémentaire de l'angle droit A'B'C'. Il mesure donc lui aussi 90°. Le triangle B'C'D est ainsi rectangle en B'.
  
  Le premier cas d'égalité des triangles (CAC) montre alors que les triangles ABC et B'C'D sont isométriques : ABC≅B'C'D. En effet, AB≅B'D par construction, BC≅B'C' par hypothèse et les angles compris sont tous deux droits. On obtient donc AC≅C'D.
  
  Comme AC≅A'C' par hypothèse et AC≅C'D, on déduit que A'C'≅C'D. Le triangle A'C'D est donc isocèle, de sommet principal C'. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est également une médiane. On en conclut que A'B'≅B'D.
  
  Les triangles A'B'C' et B'C'D possèdent alors trois côtés respectivement de même longueur : A'B'≅B'D, B'C' est commun aux deux triangles et A'C'≅C'D. Ils sont donc isométriques d'après le troisième cas d'égalité des triangles (CCC) : A'B'C'≅B'C'D. Enfin, puisque ABC≅B'C'D et A'B'C'≅B'C'D, la transitivité permet de conclure que ABC≅A'B'C', ce qui achève la démonstration.

Triangle rectangle et trigonométrie

Le triangle rectangle est au cœur de la trigonométrie. Les principales fonctions trigonométriques sont définies à partir des rapports entre les longueurs de ses côtés.

Pour un angle aigu donné, les trois rapports trigonométriques fondamentaux sont les suivants :

• Sinus
  Le sinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle de l'hypoténuse : $$ \sin(\alpha)=\frac{AP}{OP} $$
• Cosinus
  Le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté adjacent et celle de l'hypoténuse : $$ \cos(\alpha)=\frac{OA}{OP} $$
• Tangente
  La tangente d'un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent : $$ \tan(\alpha)=\frac{AP}{OA}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $$

Selon l'angle aigu choisi comme référence, un même côté peut être qualifié d'opposé ou d'adjacent. En revanche, l'hypoténuse reste toujours le côté opposé à l'angle droit.

Ces rapports permettent de calculer des longueurs inconnues ou des mesures d'angles à partir d'un nombre limité de données. Ils constituent le fondement de la plupart des calculs trigonométriques.

La trigonométrie est présente dans d'innombrables domaines.

Elle est utilisée en navigation pour déterminer des distances et des directions, en architecture et en génie civil pour concevoir des ouvrages, en topographie et en géodésie pour réaliser des relevés de terrain, ainsi qu'en physique, en électronique et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques.

Le triangle rectangle est ainsi l'une des figures les plus importantes de la géométrie. Sa simplicité en fait un outil remarquable, aussi bien pour comprendre les propriétés géométriques que pour résoudre une grande variété de problèmes concrets.

Points essentiels

Le triangle rectangle possède de nombreuses propriétés remarquables qui en font l'une des figures les plus étudiées en géométrie. Voici les principales à retenir.

• Orthocentre
  Dans un triangle rectangle, l'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit.
  
• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
  
  

  Démonstration : Un triangle rectangle possède un angle droit de 90°. D'après le théorème de la somme des angles d'un triangle, la somme des angles intérieurs est toujours égale à 180° : $$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$ Si l'un des angles est droit, par exemple \( \gamma = 90^\circ \), alors : $$ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ $$ $$ \alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ $$ $$ \alpha + \beta = 90^\circ $$ Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont donc des angles complémentaires, puisque leur somme est égale à un angle droit.

• Dans un triangle rectangle, la médiane menée à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci.
  Dans tout triangle rectangle, la médiane \( AM \), issue du sommet de l'angle droit et menée au milieu de l'hypoténuse \( BC \), a une longueur exactement égale à la moitié de celle de l'hypoténuse : \( AM \cong \frac{1}{2}BC \).
  
  La réciproque est également vraie : si, dans un triangle, une médiane est égale à la moitié du côté auquel elle est menée, alors ce triangle est rectangle.
  

  Démonstration : Considérons un triangle rectangle ABC. Soit M le milieu de l'hypoténuse BC et AM la médiane menée à cette hypoténuse. L'angle \( \alpha \) est droit (\( \alpha = 90^\circ \)) et, puisque M est le milieu de BC, on a BM≅CM.
  
  Prolongeons le segment AM en construisant un segment MD tel que MD≅AM. Relions ensuite les points B et D, puis C et D, afin de former un quadrilatère.
  
  Ce quadrilatère est un parallélogramme, car ses diagonales AD et BC se coupent en leur milieu. Comme l'angle \( \alpha \) est droit, ce parallélogramme est en réalité un rectangle. Or, dans tout rectangle, les diagonales sont de même longueur : $$ AD \cong BC $$ Leurs moitiés sont donc également de même longueur : $$ \frac{AD}{2} \cong \frac{BC}{2} $$ Comme \( \frac{AD}{2}=AM \), \( \frac{BC}{2}=BM \) et que BM≅CM, on obtient : $$ AM \cong BM \cong CM $$ La médiane menée à l'hypoténuse est donc égale à la moitié de celle-ci.
  
  Démonstration alternative. Considérons un triangle rectangle et soit M le milieu de l'hypoténuse AC. La médiane menée à l'hypoténuse est alors BM.
  
  Prolongeons la médiane BM en construisant un segment BD tel que BD≅BM. Relions ensuite le point D au point A afin de former le triangle ABD.
  
  Les triangles ADM et BCM sont isométriques d'après le premier cas d'égalité des triangles (CAC), puisque AM≅CM par définition du milieu, DM≅BM par construction, et que les angles \( \angle AMD \) et \( \angle BMC \) sont opposés par le sommet. On en déduit notamment que : $$ \alpha' \cong \gamma $$
  Dans le triangle ABC, les angles \( \alpha \) et \( \gamma \) sont complémentaires : $$ \alpha + \gamma = 90^\circ $$ Comme \( \alpha' \cong \gamma \), on obtient également : $$ \alpha + \alpha' = 90^\circ $$ Le triangle ABD est donc rectangle. De plus, les triangles ABD et ABC sont isométriques, car ils partagent le côté AB et vérifient AD≅BC. Leurs hypoténuses sont donc de même longueur : $$ AC \cong BD $$ Or, par construction : $$ BD = 2\,BM $$ D'où : $$ AC \cong 2\,BM $$ Finalement : $$ BM \cong \frac{1}{2}AC $$ La médiane menée à l'hypoténuse est donc bien égale à la moitié de celle-ci.
  
  Démonstration de la réciproque. Considérons un triangle ABC dans lequel la médiane BM est égale à la moitié du côté AC auquel elle est menée.
  
  Autrement dit : $$ BM=\frac{1}{2}AC $$ On en déduit immédiatement : $$ BM\cong AM\cong CM $$ Les triangles ABM et CBM sont donc isocèles, chacun possédant deux côtés de même longueur. Les angles à leur base sont donc égaux.
  
  Dans le triangle ABC, on a : $$ \alpha+\gamma+(\alpha+\gamma)=180^\circ $$ soit : $$ 2\alpha+2\gamma=180^\circ $$ En divisant les deux membres par 2, on obtient : $$ \alpha+\gamma=90^\circ $$ Le troisième angle du triangle ABC est donc un angle droit. Le triangle ABC est par conséquent rectangle, ce qui achève la démonstration.

• Le triangle rectangle de 30°, 60° et 90°
  

  

  
  Un triangle rectangle dont les angles aigus mesurent 30° et 60° correspond exactement à la moitié d'un triangle équilatéral. Cette propriété permet de déterminer immédiatement la longueur de tous les côtés à partir d'une seule donnée : $$ a=\frac{2b}{\sqrt{3}} $$ $$ b=\frac{a\sqrt{3}}{2} $$ $$ c=\frac{a}{2} $$ Ces relations sont propres aux triangles dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°.
• Le triangle rectangle isocèle de 45°, 45° et 90°
  

  

  
  Ce triangle particulier est à la fois rectangle et isocèle, puisque ses deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. Il est ainsi possible de calculer toutes les longueurs à partir d'un seul côté : $$ c=\frac{a}{\sqrt{2}} $$ $$ a=c\sqrt{2} $$ Ces formules sont valables uniquement pour les triangles de 45°, 45° et 90°.
• Deux triangles rectangles sont semblables si leurs côtés de l'angle droit sont proportionnels.
  D'après le deuxième critère de similitude des triangles, deux triangles sont semblables lorsque deux côtés correspondants sont proportionnels et que l'angle compris est de même mesure.
  
  Dans deux triangles rectangles, l'angle compris entre les deux côtés de l'angle droit est toujours un angle droit. Il suffit donc que les côtés de l'angle droit soient proportionnels pour que les deux triangles soient semblables. Ils ont alors les mêmes angles et la même forme, tout en pouvant avoir des dimensions différentes.
• Deux triangles rectangles ayant un angle aigu de même mesure sont semblables.
  La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180° : $$ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ $$ Deux triangles rectangles possèdent déjà chacun un angle droit. Si, en plus, un angle aigu correspondant est de même mesure, le troisième angle est nécessairement de même mesure lui aussi. Les deux triangles ont donc leurs trois angles respectivement égaux et sont semblables d'après le premier critère de similitude des triangles.
  

Ces propriétés montrent à quel point le triangle rectangle occupe une place centrale en géométrie. Elles sont à la base de nombreuses démonstrations, facilitent les calculs géométriques et trouvent des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.