Rayon du cercle inscrit dans un triangle

Le rayon du cercle inscrit dans un triangle se calcule en divisant l'aire du triangle (A) par son demi-périmètre (p) : $$ r = \frac{A}{p} $$

Cette formule établit un lien direct entre l'aire d'un triangle, son demi-périmètre et le rayon de son cercle inscrit.

Simple à appliquer, elle est largement utilisée en géométrie pour résoudre des problèmes faisant intervenir les triangles et les cercles.

Exemple pratique

Prenons le triangle ABC comme exemple.

Ses côtés mesurent AB=3, AC=4 et BC=5. Le rayon du cercle inscrit est r=1.

Commençons par calculer le demi-périmètre :

$$ 2p = 3+4+5 $$

$$ 2p = 12 $$

$$ p = 6 $$

Calculons ensuite l'aire du triangle. Comme ABC est rectangle en A, nous pouvons prendre AB=3 comme base et AC=4 comme hauteur :

$$ \text{Aire}_{ABC} = \frac{ \overline{AB} \cdot \overline{AC} }{2} $$

$$ \text{Aire}_{ABC} = \frac{ 3 \cdot 4 }{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Calculons maintenant le quotient de l'aire A=6 par le demi-périmètre p=6 :

$$ r = \frac{\text{Aire}_{ABC}}{p} = \frac{6}{6} = 1 $$

Nous retrouvons bien le rayon du cercle inscrit :

$$ r = 1 $$

Remarque : Cet exemple utilise un triangle rectangle afin de simplifier les calculs. La formule est toutefois valable pour tout triangle non dégénéré.

Démonstration

Considérons maintenant un triangle quelconque ABC.

Traçons les bissectrices des trois angles du triangle. Elles se coupent en un point E, appelé centre du cercle inscrit. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le cercle est tangent aux trois côtés du triangle aux points F, G et H. Les segments EF, EG et EH sont des rayons du même cercle et ont donc la même longueur :

EF ≅ EG ≅ EH

Comme tout rayon mené au point de tangence est perpendiculaire à la tangente, les segments EF, EG et EH sont perpendiculaires aux côtés du triangle. Ils constituent ainsi les hauteurs des triangles ACE, ABE et BCE.

Ces trois triangles recouvrent exactement le triangle ABC. Leur somme est donc égale à son aire :

$$ \text{Aire}_{ABC} = \text{Aire}_{ACE} + \text{Aire}_{ABE} + \text{Aire}_{BCE} $$

Or, l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Dans chacun des trois triangles, la hauteur est le rayon r du cercle inscrit.

Nous obtenons alors :

$$ \text{Aire}_{ABC} = \frac{ \overline{AC} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{AB} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{BC} \cdot r }{2} $$

Mettons r en facteur :

$$ \text{Aire}_{ABC} = r \cdot \left( \frac{ \overline{AC} }{2} + \frac{ \overline{AB} }{2} + \frac{ \overline{BC} }{2} \right) $$

$$ \text{Aire}_{ABC} = r \cdot \left( \frac{ \overline{AC} + \overline{AB} + \overline{BC} }{2} \right) $$

La somme des longueurs des trois côtés correspond au périmètre P du triangle :

$$ P = AC + AB + BC $$

Comme P = 2p, nous pouvons écrire :

$$ \text{Aire}_{ABC} = r \cdot \left( \frac{2p}{2} \right) $$

$$ \require{cancel} \text{Aire}_{ABC} = r \cdot \left( \frac{\cancel{2}\,p}{\cancel{2}} \right) $$

$$ \text{Aire}_{ABC} = r \cdot p $$

Nous obtenons ainsi une relation fondamentale entre l'aire du triangle, son demi-périmètre et le rayon du cercle inscrit :

$$ A = r \cdot p $$

En isolant le rayon, on retrouve immédiatement la formule recherchée :

$$ r = \frac{A}{p} $$

Cette relation est l'une des formules les plus utiles pour étudier les propriétés du cercle inscrit dans un triangle.