Excentre d'un triangle
L'excentre est le point d'intersection de la bissectrice intérieure d'un angle du triangle avec les bissectrices extérieures des deux autres angles.
L'excentre est le centre d'un cercle exinscrit, c'est-à-dire d'un cercle tangent à l'un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés.
Tout triangle possède trois excentres, un pour chacun de ses côtés.
Il possède donc également trois cercles exinscrits, chacun tangent à un côté et aux prolongements des deux autres.
Le rayon d'un cercle exinscrit est appelé exrayon.
Remarque : Dans un triangle équilatéral, les trois cercles exinscrits ont le même rayon.
Comment construire un excentre
La construction d'un excentre repose uniquement sur les bissectrices des angles du triangle.
Considérons un triangle ABC.
Commencez par tracer la bissectrice intérieure de l'angle γ.
Tracez ensuite les bissectrices extérieures des deux autres angles, α' et β'.
Remarque : La bissectrice d'un angle extérieur est appelée bissectrice extérieure. Elle partage l'angle extérieur en deux angles égaux. Comme cet angle mesure 180° - α (ou 180° - β), les expressions « bissectrice de l'angle extérieur α' » et « bissectrice extérieure de l'angle α » désignent exactement la même droite.
Le point d'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle γ avec les bissectrices extérieures des angles α et β est l'excentre Ec associé à l'angle γ.
Une fois cet excentre obtenu, il suffit de tracer un cercle de centre Ec, tangent au côté opposé AB ainsi qu'aux prolongements des côtés AC et BC.
Le rayon de ce cercle est appelé exrayon associé à l'angle γ.
À retenir : l'excentre associé à un angle est le point d'intersection de la bissectrice intérieure de cet angle avec les bissectrices extérieures des deux autres angles du triangle.
Les excentres associés aux angles α et β se construisent exactement de la même manière : on trace la bissectrice intérieure de l'angle considéré, puis les bissectrices extérieures des deux autres angles.
Voici l'excentre associé à l'angle α.
Voici enfin l'excentre associé à l'angle β.
En répétant cette construction pour chacun des trois angles, on obtient les trois excentres du triangle et les trois cercles exinscrits qui leur sont associés.
