Théorème de l'inégalité triangulaire

Dans tout triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

De façon équivalente, la longueur de chaque côté est strictement supérieure à la valeur absolue de la différence des longueurs des deux autres côtés.

Prenons le triangle ABC comme exemple.

La longueur du côté AB est inférieure à la somme des longueurs des côtés BC et AC.

$$ \overline{AB} < \overline{BC}+\overline{AC} $$

Cette propriété est également vérifiée pour les deux autres côtés :

$$ \overline{BC} < \overline{AB}+\overline{AC} $$

$$ \overline{AC} < \overline{AB}+\overline{BC} $$

Exemple

Considérons le triangle ABC suivant :

Les longueurs de ses côtés sont :

$$ \overline{AB}=5 $$

$$ \overline{BC}=4 $$

$$ \overline{AC}=3 $$

Vérifions les différentes inégalités.

Le côté AB est plus court que la somme des deux autres côtés :

$$ 5 < 4+3=7 $$

Il est également plus long que la valeur absolue de leur différence :

$$ 5 > \left|4-3\right|=1 $$

Pour le côté BC :

$$ 4 < 5+3=8 $$

$$ 4 > \left|5-3\right|=2 $$

Enfin, pour le côté AC :

$$ 3 < 5+4=9 $$

$$ 3 > \left|5-4\right|=1 $$

Toutes les conditions du théorème sont donc satisfaites.

Démonstration

Considérons un triangle ABC dont AC est le côté le plus long.

On suppose que :

$$ \overline{AC}>\overline{BC} $$

$$ \overline{AC}>\overline{AB} $$

Nous voulons démontrer que :

$$ \overline{AC}<\overline{BC}+\overline{AB} $$

Nous en déduirons ensuite que :

$$ \overline{AC}-\overline{AB}<\overline{BC} $$

Prolongeons le segment AB au-delà du point B et choisissons un point D tel que :

$$ \overline{BD}\cong\overline{BC} $$

Traçons ensuite le segment CD.

Le triangle BDC est un triangle isocèle, puisque BC et BD ont la même longueur.

Les angles opposés à ces deux côtés sont donc égaux :

$$ \delta \cong \theta $$

Comme γ est un angle positif :

$$ \gamma+\delta>\delta $$

Or δ = θ, donc :

$$ \gamma+\delta>\theta $$

Considérons maintenant le triangle ADC.

D'après le théorème de comparaison des côtés et des angles d'un triangle, le plus grand angle est opposé au côté le plus long. Le côté AC, opposé à l'angle θ, est donc plus court que AD, opposé à l'angle γ+δ :

$$ \overline{AC}<\overline{AD} $$

Or :

$$ \overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD} $$

D'où :

$$ \overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BD} $$

Comme :

$$ \overline{BD}=\overline{BC} $$

on obtient finalement :

$$ \overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC} $$

Nous avons ainsi démontré que le côté AC est plus court que la somme des deux autres côtés.

En soustrayant AB des deux membres :

$$ \overline{AC}-\overline{AB}<\overline{AB}+\overline{BC}-\overline{AB} $$

ce qui donne :

$$ \overline{AC}-\overline{AB}<\overline{BC} $$

Le côté BC est donc bien supérieur à la différence des deux autres côtés.

Distance entre trois points dans un espace métrique

Le théorème de l'inégalité triangulaire s'étend naturellement à la notion de distance dans un espace métrique.

Pour trois points quelconques A, B et C d'un espace métrique, la distance entre A et B est inférieure ou égale à la somme des distances entre A et C, puis entre C et B : $$ d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B) $$

Contrairement au cas d'un triangle non dégénéré, l'égalité est ici possible. Dans un espace euclidien, elle se produit lorsque les points A, B et C sont alignés et que C appartient au segment [AB].

Remarques

• Trois longueurs positives a, b et c permettent de construire un triangle non dégénéré si, et seulement si, chacune est strictement inférieure à la somme des deux autres : $$ a< b+c $$ $$ b<a+c $$ $$ c<a+b $$

Ces conditions s'écrivent également sous la forme :

$$ \left|b-c\right|<a< b+c $$

$$ \left|a-c\right|< b<a+c $$

$$ \left|a-b\right|<c<a+b $$