Premier théorème d'Euclide dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'un des côtés de l'angle droit est égale à celle du rectangle dont les dimensions sont l'hypoténuse et la projection orthogonale de ce côté sur l'hypoténuse.

Si l'on projette les côtés AC et BC d'un triangle rectangle sur l'hypoténuse AB, cette dernière est partagée en deux segments, AF et BF, tels que :

$$ \overline{AF} + \overline{BF} = \overline{AB} $$

Le théorème de la projection affirme alors que l'aire du carré construit sur le côté AC est égale à l'aire du rectangle dont les côtés mesurent AB et AF.

$$ \overline{AC}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{AF} $$

La même relation est valable pour l'autre côté de l'angle droit.

Remarque. Le théorème de la projection est l'une des principales relations métriques dans le triangle rectangle. Il relie les longueurs des côtés, leurs projections orthogonales sur l'hypoténuse et l'hypoténuse elle-même. Il ne doit pas être confondu avec le théorème de Pythagore, qui établit une relation entre les aires des carrés construits sur les trois côtés du triangle.

Ce théorème peut également s'exprimer sous la forme du corollaire suivant : dans un triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection orthogonale sur celle-ci.

Autrement dit, l'hypoténuse (i) est au côté de l'angle droit (c) ce que ce côté (c) est à sa projection (p) sur l'hypoténuse.

Remarque. Les deux écritures suivantes sont strictement équivalentes :

$$ i : c = c : p  \rightarrow c^2 = i \cdot p $$

Elles expriment exactement la même propriété géométrique.

Exemple d'application

Considérons un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueurs AB = 5, BC = 4.4721 et AC = 2.2361.

Projetons orthogonalement le côté AC sur l'hypoténuse AB.

La projection partage l'hypoténuse AB = 5 en deux segments : AD = 1 et BD = 4.

Calculons l'aire du carré construit sur le côté AC :

$$ \overline{AC}^2 = 2.2361^2 = 5 $$

Calculons ensuite l'aire du rectangle dont la base est la projection AD = 1 et dont la hauteur est égale à l'hypoténuse AB = 5.

$$ \overline{AD} \cdot \overline{AB} = 1 \cdot 5 = 5 $$

Les deux aires sont identiques, ce qui vérifie parfaitement le théorème de la projection.

Exemple 2

Appliquons maintenant le même raisonnement au second côté de l'angle droit, BC.

L'aire du carré construit sur BC = 4.4721 vaut :

$$ \overline{BC}^2 = 4.4721^2 = 20 $$

Calculons ensuite l'aire du rectangle dont la base est la projection BD = 4 et dont la hauteur est l'hypoténuse AB = 5.

$$ \overline{BD} \cdot \overline{AB} = 4 \cdot 5 = 20 $$

Une nouvelle fois, les deux aires coïncident exactement, conformément au théorème.

Démonstration

Considérons le triangle rectangle ABC.

Construisons le carré ACED sur le côté AC.

Projetons ensuite le côté AC sur l'hypoténuse AB. Celle-ci est alors divisée en deux segments, AF et BF.

Construisons un rectangle dont la base est la projection AF et dont la hauteur est égale à l'hypoténuse.

Par construction, les côtés opposés de ce rectangle sont de même longueur.

$$ \overline{AF} \cong \overline{GH} \qquad \overline{AG} \cong \overline{FH} $$

Prolongeons ensuite les côtés du rectangle ainsi que le côté du carré opposé à AC.

Les points d'intersection obtenus sont notés K et L.

Observons maintenant les angles de la figure.

Les angles α et α' sont égaux, car ils sont tous deux complémentaires de l'angle β. Le carré comme le rectangle possèdent en effet des angles droits.

$$ \alpha + \beta = 90° $$

$$ \alpha ' + \beta = 90° $$

Par conséquent :

$$ \alpha + \beta = \alpha ' + \beta $$

$$ \alpha = \alpha ' $$

Les triangles AKD et ABC sont alors isométriques d'après le deuxième cas d'égalité des triangles. Ils possèdent un côté correspondant de même longueur (AC = AD) ainsi que deux angles correspondants égaux.

$$ AKD \cong ABC $$

Ils ont donc les mêmes longueurs et les mêmes angles correspondants.

On en déduit notamment :

$$ \overline{AK} \cong \overline{AB} $$

Le quadrilatère ACLK est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles.

D'après le principe d'équivalence des parallélogrammes, le carré ACED et le parallélogramme ACLK ont la même aire, car ils reposent sur la même base AC et possèdent des hauteurs égales.

$$ ACED \doteq ACLK $$

Le rectangle AFHG et le parallélogramme ACLK ont également la même aire, puisqu'ils possèdent des bases égales (AG = AK) et une hauteur commune.

$$ AFHG \doteq ACLK $$

Par transitivité, il vient :

$$ ACED \doteq ACLK \doteq AFHG $$

$$ ACED \doteq AFHG $$

Nous avons ainsi démontré que l'aire du carré construit sur le côté AC est égale à celle du rectangle dont les dimensions sont l'hypoténuse et la projection orthogonale de ce côté sur l'hypoténuse.

Le théorème de la projection est ainsi démontré.

Remarque. La démonstration est exactement la même pour l'autre côté de l'angle droit, BC.

Corollaire

Dans un triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit (c) est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse (i) et sa projection orthogonale (p) sur celle-ci.

Autrement dit, l'hypoténuse est au côté de l'angle droit ce que ce dernier est à sa projection sur l'hypoténuse.

$$ i:c = c:p $$

Cette proportion peut également s'écrire sous forme algébrique. Elle montre que le carré de la longueur du côté de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la projection orthogonale de ce côté sur l'hypoténuse.

$$ \frac{i}{c} = \frac{c}{p} $$

$$ c^2 = i \cdot p $$

On retrouve ainsi la relation fondamentale du théorème de la projection : dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur un côté de l'angle droit est égale à l'aire du rectangle dont les dimensions sont l'hypoténuse et la projection de ce côté sur celle-ci.

Exemple d'application

Reprenons le triangle rectangle ABC utilisé dans l'exemple précédent.

Les longueurs sont les suivantes :

• AC = 2.2361
• AD = 1 (projection de AC sur l'hypoténuse)
• AB = 5

D'après le corollaire, le côté AC est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse AB et sa projection AD.

$$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AD} $$

En remplaçant les lettres par les valeurs numériques :

$$ 5 : 2.2361 = 2.2361 : 1 $$

Le côté AC joue donc bien le rôle de moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection.

Les deux rapports sont égaux, à de très légères différences près dues aux arrondis des valeurs décimales calculées par GeoGebra.

$$ 2.2361 = 2.2361 $$

La même propriété est naturellement valable pour l'autre côté de l'angle droit, BC.

Remarque. Les écarts éventuels observés dans les calculs proviennent uniquement des arrondis numériques. Ils n'affectent en rien la validité du corollaire.

Démonstration

Considérons le triangle rectangle ABC et le côté AC.

Le segment AH représente la projection orthogonale du côté AC sur l'hypoténuse AB.

D'après le premier cas de similitude des triangles, les triangles ABC et AHC sont semblables, car ils possèdent deux angles respectivement égaux : un angle droit et l'angle α.

Remarque. Si deux triangles possèdent deux angles respectivement égaux, le troisième angle est également égal, puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours de 180°.

Les triangles ABC et AHC sont donc semblables.

$$ ABC \approx AHC $$

Or, deux triangles semblables ont leurs côtés homologues proportionnels.

On obtient ainsi :

$$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH} = \overline{CB} : \overline{CH} $$

La première de ces égalités démontre directement le corollaire :

$$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{AH} $$

L'hypoténuse est donc au côté de l'angle droit ce que ce côté est à sa projection sur l'hypoténuse.

Le même raisonnement permet d'établir exactement la même propriété pour l'autre côté de l'angle droit.