Triangle rectangle isocèle
Le triangle rectangle isocèle est un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. Ses deux angles aigus mesurent donc chacun 45°.
Dans ce type de triangle, l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit, se calcule à l'aide de la formule $$ d = l \cdot \sqrt{2} $$ où \(l\) représente la longueur de l'un des deux côtés de l'angle droit et \(d\) celle de l'hypoténuse.
Pourquoi ce triangle est-il isocèle ?
Le triangle rectangle isocèle est un cas particulier de triangle rectangle. Comme ses deux angles aigus sont égaux et mesurent chacun 45°, il possède également deux côtés de même longueur. Il répond donc à la définition d'un triangle isocèle.
Les deux côtés de l'angle droit sont ainsi congruents :
$$ b \cong c $$
Ils ont exactement la même longueur, ce qui confère au triangle un axe de symétrie passant par le sommet de l'angle droit et le milieu de l'hypoténuse.
Une autre façon de comprendre cette propriété consiste à observer qu'un triangle rectangle isocèle correspond à la moitié d'un carré découpé selon l'une de ses diagonales. À l'inverse, deux triangles rectangles isocèles identiques assemblés par leur hypoténuse reconstituent un carré.
Cette propriété rend les calculs particulièrement simples. Il suffit de connaître la longueur d'un seul côté pour déterminer immédiatement les deux autres.
Si \(a\) désigne l'hypoténuse et \(c\) la longueur de l'un des deux côtés de l'angle droit :
$$ c = \frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{a}{2} \sqrt{2} $$
$$ a = c \cdot \sqrt{2} $$
Ces formules sont valables uniquement pour les triangles rectangles isocèles, c'est-à-dire les triangles rectangles dont les deux angles aigus mesurent 45°.
Le triangle rectangle isocèle possède également une propriété géométrique remarquable. Si l'on trace la hauteur issue du sommet de l'angle droit jusqu'à l'hypoténuse, celle-ci partage l'hypoténuse en deux segments de même longueur et divise le triangle initial en deux triangles rectangles isocèles plus petits, semblables au triangle de départ.
Démonstration
Considérons un triangle rectangle dont les deux angles aigus mesurent 45°.
Les deux angles adjacents au côté « a » sont égaux. Or, dans tout triangle, des angles égaux sont opposés à des côtés de même longueur. Le triangle est donc également un triangle isocèle.
Le côté « a » est l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont alors nécessairement congruents :
$$ b \cong c $$
Comme \(b = c\), nous pouvons représenter les deux côtés de l'angle droit par une seule variable, notée \(c\).
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Comme les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur, on obtient :
$$ a^2 = c^2 + c^2 $$
$$ a^2 = 2c^2 $$
Cette égalité permet de calculer la longueur de l'hypoténuse lorsque la longueur d'un côté de l'angle droit est connue.
$$ a^2 = 2c^2 $$
$$ \sqrt{a^2} = \sqrt{2c^2} $$
Les longueurs étant positives :
$$ a = c \cdot \sqrt{2} $$
Inversement, si l'on connaît la longueur de l'hypoténuse, on peut retrouver celle des deux côtés de l'angle droit.
$$ a^2 = 2c^2 $$
$$ \frac{a^2}{2} = c^2 $$
$$ \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{c^2} $$
Comme \(a\) et \(c\) sont positifs :
$$ a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = c $$
$$ c = \frac{a}{\sqrt{2}} $$
Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\).
$$ c = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} $$
Comme \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\), on obtient :
$$ c = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2} $$
$$ c = \frac{a}{2} \sqrt{2} $$
On retrouve ainsi les deux formules fondamentales du triangle rectangle isocèle :
$$ a = c \cdot \sqrt{2} $$
$$ c = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2}\sqrt{2} $$
