Deuxième théorème du triangle rectangle
Calcul des côtés d'un triangle rectangle à l'aide de la tangente et de la cotangente
- Dans un triangle rectangle, il est possible de calculer la longueur d'un côté de l'angle droit de deux façons :
- en multipliant la longueur de l'autre côté de l'angle droit par la tangente de l'angle opposé : $$ b = c \cdot \tan \alpha $$
- en multipliant la longueur de l'autre côté de l'angle droit par la cotangente de l'angle adjacent : $$ b = c \cdot \cot \beta $$
Le même principe s'applique à l'autre côté de l'angle droit. Sa longueur peut être obtenue en multipliant le côté b par la tangente de l'angle opposé :
$$ c = b \cdot \tan \beta $$
On peut également utiliser la cotangente de l'angle adjacent :
$$ c = b \cdot \cot \alpha $$
Exemple d'application
Appliquons ces relations à un triangle rectangle concret.
La longueur de l'hypoténuse est :
$$ a = \overline{AB} = 6{,}71 $$
Les deux côtés de l'angle droit mesurent :
$$ b = \overline{BC} = 3 $$
$$ c = \overline{AC} = 6 $$
Les angles du triangle sont :
$$ \alpha = 26{,}57^\circ $$
$$ \beta = 63{,}43^\circ $$
$$ \gamma = 90^\circ $$
Pour déterminer la longueur du côté b, on multiplie la longueur du côté c par la tangente de l'angle opposé α :
$$ b = c \cdot \tan \alpha $$
$$ b = 6 \cdot \tan(26{,}57^\circ) $$
$$ b = 6 \cdot 0{,}5 $$
$$ b = 3 $$
On obtient exactement le même résultat en utilisant la cotangente de l'angle adjacent β :
$$ b = c \cdot \cot \beta $$
$$ b = 6 \cdot \cot(63{,}43^\circ) $$
$$ b = 6 \cdot 0{,}5 $$
$$ b = 3 $$
Calculons maintenant la longueur du côté c. Il suffit de multiplier le côté b par la tangente de l'angle opposé β :
$$ c = b \cdot \tan \beta $$
$$ c = 3 \cdot \tan(63{,}43^\circ) $$
$$ c = 3 \cdot 2 $$
$$ c = 6 $$
Le même résultat est obtenu en utilisant la cotangente de l'angle adjacent α :
$$ c = b \cdot \cot \alpha $$
$$ c = 3 \cdot \cot(26{,}57^\circ) $$
$$ c = 3 \cdot 2 $$
$$ c = 6 $$
Démonstration
Considérons le triangle ABC, rectangle en C. L'angle droit est donc γ.
Traçons un cercle unité de centre A et de rayon 1.
Notons D le point où l'hypoténuse AB coupe le cercle unité.
Projetons ensuite orthogonalement le point D sur le côté AC. Le point obtenu est noté E.
On obtient ainsi un second triangle rectangle, le triangle ADE.
Les triangles ABC et ADE sont semblables. Ils possèdent en effet un angle droit et partagent le même angle aigu α. Ils satisfont donc au critère de similitude fondé sur l'égalité de deux angles.
Les côtés homologues étant proportionnels, on peut écrire :
$$ \overline{BC} : \overline{AC} = \overline{DE} : \overline{AE} $$
soit, sous forme fractionnaire :
$$ \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{AE}} $$
En remplaçant BC par b et AC par c, on obtient :
$$ \frac{b}{c} = \frac{\overline{DE}}{\overline{AE}} $$
Comme le rayon du cercle unité vaut 1 :
$$ \overline{AD} = 1 $$
Dans le triangle ADE, le segment DE est le côté opposé à l'angle α. D'après la définition du sinus :
$$ \sin \alpha = \frac{\overline{DE}}{\overline{AD}} $$
Comme $\overline{AD}=1$, il vient :
$$ \sin \alpha = \frac{\overline{DE}}{1} $$
$$ \overline{DE} = \sin \alpha $$
La proportion précédente devient alors :
$$ \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\overline{AE}} $$
Dans le même triangle, le segment AE est adjacent à l'angle α. D'après la définition du cosinus :
$$ \cos \alpha = \frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} $$
Comme $\overline{AD}=1$, on obtient :
$$ \cos \alpha = \frac{\overline{AE}}{1} $$
$$ \overline{AE} = \cos \alpha $$
En remplaçant AE par $\cos \alpha$, il vient :
$$ \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
En multipliant les deux membres par c :
$$ b = c \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Or, d'après le rapport fondamental reliant la tangente au sinus et au cosinus, on a :
$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
On en déduit immédiatement :
$$ b = c \cdot \tan \alpha $$
Autrement dit, la longueur du côté b est égale au produit de la longueur du côté c par la tangente de l'angle opposé α.
La cotangente étant l'inverse de la tangente, on a :
$$ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} $$
Par conséquent :
$$ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} $$
En remplaçant cette expression dans la relation précédente :
$$ b = c \cdot \frac{1}{\cot \alpha} $$
En multipliant les deux membres par $\cot \alpha$ :
$$ b \cdot \cot \alpha = c $$
On obtient finalement :
$$ c = b \cdot \cot \alpha $$
La longueur du côté c est donc égale au produit de la longueur du côté b par la cotangente de l'angle adjacent α.
On démontre ainsi que, dans un triangle rectangle, la longueur de l'un des côtés de l'angle droit s'obtient en multipliant la longueur de l'autre côté de l'angle droit soit par la tangente de l'angle opposé, soit, de manière équivalente, par la cotangente de l'angle adjacent.
Le même raisonnement permet naturellement de calculer l'autre côté de l'angle droit en échangeant les rôles des angles α et β.
