Calcul de l'aire d'un triangle par la trigonométrie

Lorsqu'on connaît les longueurs de deux côtés d'un triangle ainsi que l'angle compris entre eux, il est possible de calculer directement son aire grâce à une formule trigonométrique. Si les côtés ont pour longueurs l₁ et l₂, et que l'angle qu'ils forment est noté α, alors : $$ Aire = \frac{1}{2} \cdot (l_1 \cdot l_2) \cdot \sin \alpha $$

Dans cette relation, l₁ et l₂ désignent les longueurs de deux côtés ayant un sommet commun, tandis que α est l'angle compris entre ces deux côtés.

La même formule peut être appliquée avec n'importe quel couple de côtés du triangle, à condition d'utiliser l'angle compris entre eux.

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot (l_1 \cdot l_3) \cdot \sin \beta $$

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot (l_2 \cdot l_3) \cdot \sin \gamma $$

Ces trois expressions sont équivalentes et sont valables pour tous les triangles, qu'ils soient rectangles, isocèles ou scalènes.

Exemples de calcul

Commençons par un triangle rectangle.

Par la méthode classique, l'aire est égale à la moitié du produit de la base c par la hauteur b.

$$ Aire = \frac{1}{2} (c \cdot b) = \frac{1}{2} (4 \cdot 3) = 6 $$

Retrouvons maintenant ce même résultat grâce à la formule trigonométrique.

Les côtés considérés sont a = 5 et c = 4, et l'angle compris vaut α = 36{,}87°.

$$ Aire = \frac{1}{2} (a \cdot c) \sin \alpha $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (5 \cdot 4) \sin 36{,}87° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (20) \cdot 0{,}6 $$

$$ Aire = 6 $$

On obtient exactement la même aire.

Prenons maintenant les côtés a = 5 et b = 3, avec l'angle compris β = 53{,}13°.

$$ Aire = \frac{1}{2} (a \cdot b) \sin \beta $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (5 \cdot 3) \sin 53{,}13° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (15) \cdot 0{,}8 $$

$$ Aire = 6 $$

Enfin, en utilisant les côtés c = 4 et b = 3 avec l'angle compris γ = 90°, on retrouve une nouvelle fois le même résultat.

$$ Aire = \frac{1}{2} (c \cdot b) \sin \gamma $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (4 \cdot 3) \sin 90° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (12) \cdot 1 $$

$$ Aire = 6 $$

Quel que soit le couple de côtés utilisé, l'aire du triangle reste identique.

Exemple 2

Étudions maintenant le cas d'un triangle isocèle.

Calculons d'abord son aire à partir des côtés b = 5 et c = 5, ainsi que de l'angle compris γ = 36{,}87°.

$$ Aire = \frac{1}{2} (b \cdot c) \sin \gamma $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (5 \cdot 5) \sin 36{,}87° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (25) \cdot 0{,}6 $$

$$ Aire = 7{,}5 $$

Utilisons maintenant les côtés a = 3{,}16 et c = 5, ainsi que l'angle compris α = 71{,}57°.

$$ Aire = \frac{1}{2} (a \cdot c) \sin \alpha $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (3{,}16 \cdot 5) \sin 71{,}57° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (15{,}8) \cdot 0{,}949 $$

$$ Aire \approx 7{,}5 $$

On peut également choisir les côtés a = 3{,}16 et b = 5, avec l'angle compris β = 71{,}57°.

$$ Aire = \frac{1}{2} (a \cdot b) \sin \beta $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (3{,}16 \cdot 5) \sin 71{,}57° $$

$$ Aire = \frac{1}{2} (15{,}8) \cdot 0{,}949 $$

$$ Aire \approx 7{,}5 $$

Quel que soit le couple de côtés choisi, le résultat est le même.

L'aire du triangle est donc égale à 7,5 unités carrées.

Démonstration de la formule

Cas 1 : triangle rectangle

Montrons d'abord pourquoi cette formule est valable dans le cas d'un triangle rectangle.

L'aire d'un triangle est donnée par :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b $$

D'après le théorème trigonométrique relatif aux côtés d'un triangle rectangle, la hauteur b est égale à la longueur de l'hypoténuse a multipliée par le sinus de l'angle opposé α.

b = a \sin \alpha

En remplaçant b dans la formule précédente, on obtient :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot (a \cdot \sin \alpha) $$

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot a) \cdot \sin \alpha $$

L'angle α est précisément l'angle compris entre les côtés a et c.

On retrouve donc :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \alpha $$

Cas 2 : triangle isocèle

Considérons maintenant un triangle isocèle dont les côtés b et c sont égaux.

Traçons la hauteur h, représentée par le segment BD.

L'aire du triangle vaut :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h $$

Dans le triangle rectangle ABD, la hauteur vérifie :

h = a \sin \alpha

En remplaçant h dans la formule de l'aire, on obtient :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h $$

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot (a \cdot \sin \alpha) $$

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \sin \alpha $$

On retrouve ainsi la formule générale.

Cas 3 : triangle scalène avec un angle obtus

Examinons enfin un triangle scalène possédant un angle obtus.

On trace la hauteur h issue du sommet A. Elle est représentée par le segment AD.

L'aire du triangle s'écrit :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h $$

Dans le triangle rectangle ADB, la hauteur vérifie :

h = a \sin (\pi - \alpha)

 

En remplaçant h dans la formule de l'aire, on obtient :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h $$

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \sin (\pi - \alpha) $$

L'angle π - α est le supplémentaire de l'angle obtus α.

Or, les angles supplémentaires ont le même sinus :

$$ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $$

La formule devient alors :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \sin \alpha $$

On retrouve ainsi la même relation que dans les cas précédents.

En conclusion, la formule trigonométrique de l'aire est valable pour tous les triangles :

$$ Aire = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha $$

Il suffit donc de connaître les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre eux pour calculer directement l'aire d'un triangle.