Relations trigonométriques dans un triangle rectangle
- Dans un triangle rectangle, la longueur d'un côté de l'angle droit (b) peut être calculée de deux façons :
- en multipliant la longueur de l'hypoténuse (a) par le sinus de l'angle (α) opposé à ce côté : $$ b = a \cdot \sin \alpha $$
- en multipliant la longueur de l'hypoténuse (a) par le cosinus de l'angle aigu (β) adjacent à ce côté : $$ b = a \cdot \cos \beta $$
La même propriété permet également de déterminer la longueur de l'autre côté de l'angle droit (c).
En multipliant l'hypoténuse (a) par le sinus de l'angle opposé (β), on obtient :
$$ c = a \cdot \sin \beta $$
On peut aussi calculer ce même côté en multipliant l'hypoténuse (a) par le cosinus de l'angle adjacent (α) :
$$ c = a \cdot \cos \alpha $$
Exemple d'application
Appliquons maintenant ces relations à un exemple concret.
La longueur de l'hypoténuse est :
$$ a = \overline{AB} = 6{,}71 $$
Les deux côtés de l'angle droit mesurent :
$$ b = \overline{BC} = 3 $$
$$ c = \overline{AC} = 6 $$
Les angles du triangle sont :
$$ \alpha = 26{,}57° $$
$$ \beta = 63{,}43° $$
$$ \gamma = 90° $$
Calculons d'abord le côté opposé à l'angle α :
$$ b = a \cdot \sin \alpha $$
$$ b = 6{,}71 \cdot \sin (26{,}57°) $$
$$ b \simeq 6{,}71 \cdot 0{,}447 $$
$$ b \simeq 3 $$
Calculons ensuite le côté adjacent au même angle :
$$ c = a \cdot \cos \alpha $$
$$ c = 6{,}71 \cdot \cos (26{,}57°) $$
$$ c \simeq 6{,}71 \cdot 0{,}894 $$
$$ c \simeq 6 $$
En utilisant maintenant l'angle β, on retrouve la même longueur pour le côté opposé :
$$ c = a \cdot \sin \beta $$
$$ c = 6{,}71 \cdot \sin (63{,}43°) $$
$$ c \simeq 6{,}71 \cdot 0{,}894 $$
$$ c \simeq 6 $$
Enfin, le côté adjacent à l'angle β est obtenu grâce au cosinus :
$$ b = a \cdot \cos \beta $$
$$ b = 6{,}71 \cdot \cos (63{,}43°) $$
$$ b \simeq 6{,}71 \cdot 0{,}447 $$
$$ b \simeq 3 $$
Démonstration
Considérons un triangle ABC rectangle en C. Les angles aigus sont notés α et β, tandis que l'angle droit est noté γ.
Traçons un cercle de centre A et de rayon égal à 1.
Notons D le point d'intersection entre l'hypoténuse [AB] et ce cercle.
Projetons ensuite orthogonalement le point D sur le côté [AC]. On obtient le point E.
Le triangle ADE est lui aussi rectangle.
Les triangles ABC et ADE sont semblables, car ils possèdent un angle droit et partagent le même angle aigu α.
On peut donc écrire :
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \overline{DE} : \overline{AD} $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AD} $$
Le segment [AD] est le rayon du cercle. Comme celui-ci est unitaire :
$$ \overline{AD} = 1 $$
Les rapports deviennent alors :
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \overline{DE} : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : 1 $$
Dans le triangle ADE, le sinus de l'angle α est défini par :
$$ \sin \alpha = \frac{\overline{DE}}{\overline{AD}} $$
Comme $\overline{AD}=1$ :
$$ \sin \alpha = \frac{\overline{DE}}{1} $$
$$ \overline{DE} = \sin \alpha $$
On remplace donc DE par $\sin \alpha$ :
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \sin \alpha : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : 1 $$
De la même manière, le cosinus de l'angle α est défini par :
$$ \cos \alpha = \frac{\overline{AE}}{\overline{AD}} $$
Comme $\overline{AD}=1$ :
$$ \cos \alpha = \frac{\overline{AE}}{1} $$
$$ \overline{AE} = \cos \alpha $$
On remplace alors AE par $\cos \alpha$ :
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \sin \alpha : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \cos \alpha : 1 $$
En écrivant ces rapports sous forme de fractions :
$$ \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \sin \alpha $$
$$ \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \cos \alpha $$
En multipliant les deux membres de chaque égalité par $\overline{AB}$, on obtient :
$$ \overline{BC} = \overline{AB} \cdot \sin \alpha $$
$$ \overline{AC} = \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$
En remplaçant les segments par leurs notations usuelles, avec AB = a, BC = b et AC = c :
$$ b = a \cdot \sin \alpha $$
$$ c = a \cdot \cos \alpha $$
On démontre ainsi que la longueur d'un côté de l'angle droit est obtenue en multipliant la longueur de l'hypoténuse soit par le sinus de l'angle opposé, soit par le cosinus de l'angle adjacent.
Le résultat est donc établi : dans un triangle rectangle, la longueur d'un côté de l'angle droit est égale au produit de la longueur de l'hypoténuse par le sinus de l'angle opposé. Elle est également égale au produit de la longueur de l'hypoténuse par le cosinus de l'angle adjacent.
Remarque : Les mêmes relations s'appliquent à l'autre angle aigu. Ainsi, on obtient également : $$ c = a \cdot \sin \beta $$ et $$ b = a \cdot \cos \beta $$
Toutes les formules sont ainsi démontrées.
Ces relations sont valables pour tout triangle rectangle, quelles que soient les dimensions de ses côtés.
