Relation entre les côtés d’un triangle et les angles qui leur sont opposés
Dans tout triangle, la longueur des côtés et la mesure des angles opposés sont étroitement liées. Cette propriété fondamentale de la géométrie permet de comparer les côtés d'un triangle à partir de ses angles, et inversement.
- Lorsque deux côtés d'un triangle sont congruents, les angles qui leur sont opposés sont également congruents. C'est le cas, par exemple, du triangle isocèle, dont les deux côtés égaux sont opposés à deux angles de même mesure.
- À l'inverse, si deux côtés n'ont pas la même longueur, les angles qui leur sont opposés sont eux aussi de mesures différentes. Plus un côté est long, plus l'angle qui lui est opposé est grand.
Démonstration
Considérons un triangle dans lequel le côté $ BC $ est plus long que le côté $ AC $.
$$ BC > AC $$
Nous allons montrer que l'angle $ \alpha $, opposé au côté $ BC $, est plus grand que l'angle $ \beta $, opposé au côté $ AC $.
Comme $ BC > AC $, il existe un point $ P $ situé sur le segment $ BC $ tel que :
$$ CP \cong AC $$
Le triangle $ \triangle ACP $ est donc isocèle, puisque deux de ses côtés sont congruents :
$$ AC \cong CP $$
Par conséquent, ses deux angles à la base, notés $ \theta $, sont égaux.
Le segment $ AP $ partage l'angle $ \alpha $ en deux angles. L'un d'eux étant égal à $ \theta $, on obtient immédiatement :
$$ \alpha > \theta $$
Considérons maintenant le triangle $ \triangle ABP $. Dans ce triangle, $ \theta $ est un angle extérieur.
D'après le théorème de l'angle extérieur, tout angle extérieur est strictement plus grand que chacun des deux angles intérieurs non adjacents.
Il s'ensuit que :
$$ \theta > \beta $$
En réunissant les deux résultats précédents, on obtient la chaîne d'inégalités :
$$ \alpha > \theta > \beta $$
L'angle $ \alpha $, opposé au côté le plus long $ BC $, est donc plus grand que l'angle $ \beta $, opposé au côté le plus court $ AC $.
La démonstration est ainsi établie : dans tout triangle, le côté le plus long est toujours opposé au plus grand angle.
Théorème réciproque
Dans un triangle, si deux angles n'ont pas la même mesure, alors le côté opposé au plus grand angle est nécessairement plus long que le côté opposé au plus petit angle.
Ce résultat permet d'expliquer plusieurs propriétés classiques des triangles.
- Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long, car elle est opposée à l'angle droit (90°), qui est le plus grand angle du triangle.
- Dans un triangle obtusangle, le côté opposé à l'angle obtus, c'est-à-dire à l'angle supérieur à 90°, est toujours plus long que chacun des deux autres côtés.
Cette propriété est valable pour tous les triangles et constitue l'une des relations fondamentales entre les côtés et les angles en géométrie euclidienne.
