Triangle rectangle à angles de 30° et 60°

Un triangle rectangle dont les deux angles aigus mesurent 30° et 60° représente exactement la moitié d'un triangle équilatéral.

La hauteur (h) et le côté (l) de ce triangle rectangle se calculent à l'aide des formules suivantes : $$ l = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h }{3} \sqrt{3} $$ $$ h = \frac{l}{2} \sqrt{3}   $$   La base (l/2) est exactement égale à la moitié de l'hypoténuse (l), c'est-à-dire du côté opposé à l'angle droit.

Explication

Si l'on complète ce triangle par son symétrique, on obtient un triangle équilatéral. Les trois angles mesurent alors 60° et les trois côtés ont la même longueur.

Le triangle rectangle à angles de 30°, 60° et 90° possède une propriété particulièrement utile : il suffit de connaître la longueur d'un seul côté pour calculer les deux autres.

$$ a = \frac{2b}{\sqrt{3}} = \frac{2b \sqrt{3}}{3} $$

$$ b = \frac{a}{2} \sqrt{3}   $$

$$ c = \frac{a}{2} $$

Ces relations proviennent directement des propriétés géométriques de ce triangle particulier et du théorème de Pythagore.

Remarque : Ces formules sont valables uniquement pour les triangles rectangles dont les angles mesurent 30°, 60° et 90°.

Démonstration

Pour démontrer les formules du triangle rectangle à angles de 30°, 60° et 90°, nous utilisons le théorème de Pythagore.

Selon ce théorème, dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (a²) est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit (b² + c²).

$$ a^2 = b^2 + c^2 $$

Comme un triangle rectangle à angles de 30° et 60° est la moitié d'un triangle équilatéral, le côté c = a/2 est nécessairement égal à la moitié de l'hypoténuse. En effet, dans le triangle équilatéral obtenu, les trois côtés sont égaux, ce qui donne la relation a = 2c.

 

On peut donc écrire directement :

$$ a^2 = b^2 + ( \frac{a}{2}) ^2 $$

Cette relation permet de déterminer toutes les dimensions du triangle à partir d'un seul côté connu.

Si l'hypoténuse (a) est connue, les deux autres côtés se calculent ainsi :

$$ b^2 = a^2 - ( \frac{a}{2}) ^2 $$

$$ b^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} $$

$$ b^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} $$

$$ b^2 = \frac{3a^2}{4} $$

$$ \sqrt{b^2} = \sqrt{ \frac{3a^2}{4} } $$

$$ b = \frac{a}{2} \sqrt{3} $$

Le second côté de l'angle droit s'obtient immédiatement :

$$ c = \frac{a}{2} $$

Si, au contraire, le plus grand côté de l'angle droit (b) est connu, on commence par calculer l'hypoténuse (a), puis le plus petit côté (c).

$$ b^2 = a^2 - ( \frac{a}{2}) ^2 $$

$$ b^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} $$

$$ b^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} $$

$$ b^2 = \frac{3a^2}{4} $$

$$ \frac{4b^2}{3} = a^2 $$

$$ \sqrt{ \frac{4b^2}{3} } = \sqrt{ a^2 } $$

$$ \frac{2b}{\sqrt{3}} = a $$

Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √3. Cette opération ne modifie pas la valeur de la fraction, car on multiplie par une quantité égale à 1.

$$ \frac{2b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = a $$

$$ \frac{2b \cdot \sqrt{3}}{3} = a $$

$$ \frac{2b \sqrt{3}}{3} = a $$

Une fois l'hypoténuse déterminée, le plus petit côté se déduit immédiatement de la relation :

$$ c = \frac{a}{2} $$

Le même raisonnement peut être appliqué dans toutes les situations où la longueur d'un seul côté est connue.