La somme de deux angles d'un triangle est inférieure à 180°
Dans tout triangle, la somme de deux angles intérieurs quelconques est toujours strictement inférieure à 180°.
Prenons un triangle quelconque ABC :
Les trois inégalités suivantes sont toujours vérifiées :
$$ \alpha + \beta < 180^\circ \\ \alpha + \gamma < 180^\circ \\ \beta + \gamma < 180^\circ $$
Cette propriété conduit immédiatement à une conséquence essentielle en géométrie :
Tout triangle possède au moins deux angles aigus, c'est-à-dire deux angles dont la mesure est strictement inférieure à 90°.
En effet, un triangle ne peut pas posséder plus d'un angle droit ou obtus. Si deux de ses angles étaient droits ou obtus, leur somme serait supérieure ou égale à 180°, ce qui est incompatible avec les propriétés fondamentales de la géométrie euclidienne.
Démonstration
Considérons un triangle quelconque ABC :
Ce triangle possède trois angles intérieurs (α, β, γ). À chacun d'eux correspondent deux angles extérieurs adjacents.
Prenons comme exemple l'angle intérieur β. Il est adjacent aux deux angles extérieurs βe et βe'.
Considérons maintenant l'angle extérieur βe :
D'après le théorème de l'angle extérieur dans un triangle, un angle extérieur est toujours plus grand que chacun des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
On obtient donc :
$$ \beta_e > \alpha \quad \text{et} \quad \beta_e > \gamma $$
L'angle βe est donc supérieur aux angles opposés α et γ. En revanche, il n'est pas comparé à β, puisque ces deux angles sont adjacents et forment ensemble un angle plat.
Partons de la première inégalité :
$$ \beta_e > \alpha $$
Ajoutons l'angle β aux deux membres :
$$ \beta_e + \beta > \alpha + \beta $$
Or, un angle intérieur et l'angle extérieur qui lui est adjacent forment toujours un angle plat. Par conséquent :
$$ \beta_e + \beta = 180^\circ $$
En remplaçant cette somme dans l'inégalité précédente, on obtient :
$$ 180^\circ > \alpha + \beta $$
La somme des angles α et β est donc strictement inférieure à 180° :
$$ \alpha + \beta < 180^\circ $$
En répétant exactement le même raisonnement avec les autres angles extérieurs du triangle, on démontre les deux autres inégalités. On conclut ainsi que la somme de n'importe quelle paire d'angles intérieurs d'un triangle est toujours inférieure à 180°.
La démonstration est ainsi complète.
