Droite d’Euler
La droite d'Euler est une droite remarquable qui passe par trois points fondamentaux d'un triangle : l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit.
La découverte de cet alignement constitue l'un des résultats les plus élégants de la géométrie du triangle. Elle révèle un lien inattendu entre plusieurs points remarquables qui, à première vue, semblent indépendants les uns des autres.
Dans tout triangle, on peut définir trois points particulièrement importants : le centre de gravité (G), le centre du cercle circonscrit (O) et l'orthocentre (H).
À l'exception du triangle équilatéral, ces trois points sont toujours alignés sur une même droite : la droite d'Euler.
La droite d'Euler porte le nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, l'une des figures majeures de l'histoire des mathématiques. Ses travaux ont profondément influencé la géométrie, l'analyse, la théorie des nombres, la mécanique et de nombreuses autres disciplines scientifiques.
Un exemple concret
Considérons un triangle quelconque ABC.
Commençons par repérer le centre de gravité.
Le centre de gravité (G) est le point d'intersection des médianes du triangle.
Une médiane est un segment qui relie un sommet (A, B ou C) au milieu du côté opposé (MAB, MBC ou MAC).
Remarque : le centre de gravité partage chaque médiane dans le rapport 2:1. La partie la plus longue est toujours celle qui relie le sommet au centre de gravité.
Déterminons maintenant le centre du cercle circonscrit.
Le centre du cercle circonscrit (O) est le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle.
Remarque : ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire du cercle qui passe par les trois sommets.
Terminons avec l'orthocentre.
L'orthocentre (H) est le point d'intersection des hauteurs du triangle.
Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé, ou à son prolongement.
Une fois ces trois points construits, on constate qu'ils sont alignés.
La droite qui passe simultanément par G, O et H est appelée droite d'Euler.
Propriétés de la droite d'Euler
La droite d'Euler possède plusieurs propriétés remarquables.
- Le centre de gravité est situé entre les deux autres points
Sur la droite d'Euler, le centre de gravité (G) se trouve toujours entre le centre du cercle circonscrit (O) et l'orthocentre (H).
- Une relation de distances remarquable
La distance entre le centre de gravité et l'orthocentre est égale au double de la distance entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit : $$ GH = 2GO $$ Il en résulte que la distance entre le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre vaut trois fois la distance GO : $$ OH = 3GO $$ - Le cas particulier du triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'incentre sont confondus : $$ H = G = O = I $$ Ces points ne déterminent donc plus une droite unique. On peut alors tracer une infinité de droites passant par ce point commun.
- D'autres points remarquables appartiennent également à cette droite
La droite d'Euler contient aussi plusieurs points géométriques moins connus, tels que le point de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter ou encore le point de Gossard. - L'incentre n'appartient généralement pas à la droite d'Euler
Dans la plupart des triangles, l'incentre n'est pas situé sur la droite d'Euler. Une exception importante concerne les triangles isocèles, où il est aligné avec l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit.
- Le cas des triangles isocèles
Dans un triangle isocèle, la droite d'Euler coïncide avec l'axe de symétrie du triangle.
La droite d'Euler illustre parfaitement la richesse de la géométrie classique. Derrière des constructions simples se cachent souvent des relations profondes et surprenantes entre les différents éléments d'une figure.
