Formule de Héron
Comment calculer l'aire d'un triangle lorsque l'on connaît uniquement la longueur de ses trois côtés ? La formule de Héron apporte une réponse simple, élégante et particulièrement efficace. Elle permet de déterminer directement l'aire d'un triangle, sans avoir besoin de connaître sa hauteur ni la mesure de ses angles. Elle s'écrit : $$ A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ Dans cette formule, \(a\), \(b\) et \(c\) représentent les longueurs des côtés du triangle, tandis que \(p\) désigne son demi-périmètre.
Le demi-périmètre est égal à la moitié du périmètre du triangle :
$$ p = \frac{a+b+c}{2} $$
La formule de Héron est particulièrement utile lorsque la hauteur du triangle est inconnue ou difficile à mesurer. Dès que les longueurs des trois côtés sont connues, elle permet d'obtenir l'aire avec précision.
À savoir : La formule porte le nom de Héron d'Alexandrie, mathématicien et ingénieur grec du Ier siècle apr. J.-C. Elle figure dans son traité Les Métriques, même si des méthodes équivalentes étaient probablement déjà utilisées avant lui.
Elle s'applique à tous les types de triangles : scalènes, isocèles et équilatéraux.
Exemple d'application
Appliquons maintenant la formule de Héron à un triangle dont les côtés mesurent 8, 15 et 17 unités.
Notre objectif est de calculer l'aire de ce triangle.
Comme sa hauteur n'est pas connue, la formule classique fondée sur la base et la hauteur ne peut pas être utilisée :
$$ A = \frac{ \text{base} \times \text{hauteur} }{2} $$
En revanche, les longueurs des trois côtés sont connues. La formule de Héron est donc parfaitement adaptée à cette situation.
$$ A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont les longueurs des côtés, et \(p\) le demi-périmètre.
Remplaçons les variables par leurs valeurs :
\[A = \sqrt{p(p - 8)(p - 15)(p - 17)}\]
Calculons d'abord le demi-périmètre :
$$ p = \frac{a + b + c}{2} $$
$$ p = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$
Remarque : Le demi-périmètre est la quantité qui relie les longueurs des côtés à l'aire dans la formule de Héron. Sans lui, le calcul ne serait pas possible.
Nous pouvons maintenant calculer l'aire :
$$ A = \sqrt{20(20 - 8)(20 - 15)(20 - 17)} $$
$$ A = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3} = \sqrt{3600} = 60 $$
L'aire du triangle est donc égale à 60 unités carrées.
Une vérification avec GeoGebra confirme ce résultat.
Observation : Dans cet exemple, les côtés vérifient la relation \(8^2 + 15^2 = 17^2\). Le triangle est donc rectangle. Son aire peut également être obtenue avec la formule classique : \(A = \frac{8 \times 15}{2} = 60\). Les deux méthodes conduisent naturellement au même résultat.
La formule de Héron est ainsi une méthode simple, élégante et très puissante pour calculer l'aire d'un triangle à partir des seules longueurs de ses côtés.
