Le plus long côté et le plus grand angle d'un triangle

Dans tout triangle non équilatéral, le plus long côté est toujours opposé au plus grand angle. Réciproquement, le plus grand angle est toujours opposé au plus long côté.

Cette propriété fondamentale de la géométrie s'applique à tous les triangles, à l'exception des triangles équilatéraux.

Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont de même longueur et les trois angles ont la même mesure. Il est donc impossible d'y identifier un côté plus long ou un angle plus grand que les autres.

Exemple

Prenons un triangle scalène obtusangle.

L'angle α, situé au sommet A, est le plus grand angle du triangle.

$$ \alpha > \beta $$

$$ \alpha > \gamma $$

Le côté qui lui est opposé est BC. C'est donc le plus long côté du triangle.

$$ \overline{BC} > \overline{AB} $$

$$ \overline{BC} > \overline{AC} $$

La réciproque est également vraie : le plus long côté est toujours opposé au plus grand angle.

Démonstration

Supposons que BC soit le plus long côté du triangle ABC.

$$ \overline{BC} > \overline{AC} $$

$$ \overline{BC} > \overline{AB} $$

Nous allons montrer que l'angle α, opposé au côté BC, est plus grand que les angles β et γ.

Traçons un arc de cercle de centre C et de rayon CA. Cet arc coupe le côté CB en un point que l'on note D.

Par construction, les segments CD et AC ont la même longueur.

$$ \overline{CD} \cong \overline{AC} $$

Relions ensuite les points A et D.

Les points A, C et D forment un triangle isocèle, puisque AC et CD sont de même longueur.

Dans ce triangle isocèle, les angles à la base AD, notés δ et θ, sont égaux.

$$ \delta \cong \theta $$

L'angle δ est un angle extérieur du triangle ABD.

D'après le théorème de l'angle extérieur, un angle extérieur est toujours plus grand que chacun des deux angles intérieurs non adjacents. On obtient donc :

$$ \delta > \beta $$

Comme δ et θ sont égaux, il en résulte également que :

$$ \theta > \beta $$

Par ailleurs, l'angle θ est entièrement contenu dans l'angle α. Il est donc strictement inférieur à celui-ci.

On en déduit immédiatement :

$$ \alpha > \beta $$

Il reste maintenant à établir que l'angle α est également plus grand que l'angle γ.

Revenons au triangle ABC. Traçons un arc de cercle de centre B et de rayon AB. Cet arc coupe le côté AC en un point que l'on note E.

Les segments EB et AB ont alors la même longueur.

$$ \overline{EB} \cong \overline{AB} $$

Relions ensuite les points A et E.

Les points A, B et E forment un triangle isocèle.

Les angles δ et θ, situés à la base AE, sont égaux.

$$ \delta \cong \theta $$

L'angle δ est un angle extérieur du triangle ACE.

D'après le théorème de l'angle extérieur :

$$ \delta > \gamma $$

Comme δ = θ, on obtient également :

$$ \theta > \gamma $$

Or θ est entièrement contenu dans l'angle α, donc :

$$ \theta < \alpha $$

Par conséquent :

$$ \alpha > \gamma $$

Nous avons ainsi démontré que l'angle α, opposé au côté BC, est plus grand que les deux autres angles du triangle.

L'angle α est donc le plus grand angle du triangle ABC.

À retenir

Cette propriété conduit directement à plusieurs résultats utiles :

• Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le plus long côté.
• Dans un triangle obtusangle, le côté opposé à l'angle obtus est toujours le plus long.
• Corollaire
  Si deux triangles possèdent deux côtés respectivement égaux (par exemple AC ≅ A'C' et BC ≅ B'C'), mais des angles compris différents, alors celui qui possède le plus grand angle compris possède également le plus long côté opposé. Autrement dit, si γ > γ', alors AB > A'B'.
  

Cette relation entre les côtés et les angles est l'une des propriétés fondamentales des triangles. Elle est fréquemment utilisée pour comparer des triangles, démontrer des théorèmes et résoudre de nombreux problèmes de géométrie.