Deuxième théorème d'Euclide
Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur la hauteur relative à l'hypoténuse est égale à l'aire du rectangle dont les côtés ont pour longueurs les projections des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.
En d'autres termes, si l'on construit un carré dont le côté est égal à la hauteur CH et un rectangle dont les côtés mesurent AH et BH, ces deux figures possèdent exactement la même aire.
Les segments AH et BH correspondent aux projections des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse. Ils sont obtenus en abaissant la hauteur CH sur l'hypoténuse AB.
Le carré Q et le rectangle R sont donc des polygones équivalents, c'est-à-dire des figures ayant la même aire.
Corollaire
Le deuxième théorème d'Euclide conduit directement à une propriété fondamentale : dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypoténuse est la moyenne géométrique des deux segments dans lesquels elle partage l'hypoténuse.
Autrement dit, une projection (p1) est à la hauteur (h) ce que la hauteur est à l'autre projection (p2).
Remarque : cette propriété s'écrit sous la forme de la proportion $$ p_1 : h = h : p_2 \rightarrow h^2 = p_1 \cdot p_2 $$ Elle exprime que le carré construit sur la hauteur possède la même aire que le rectangle formé par les deux projections sur l'hypoténuse.
Réciproque du théorème
La réciproque est également vraie. Si, dans un triangle, le carré d'une hauteur est égal au produit des deux segments qu'elle détermine sur le côté opposé, alors ce triangle est nécessairement rectangle.
$$ \overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH} $$
Dans ce cas, le sommet C est un angle droit de 90°.
Exemple
Considérons le triangle rectangle ABC.
Le triangle est rectangle en A. Les côtés de l'angle droit mesurent AB = 4 et AC = 3, tandis que l'hypoténuse BC mesure 5.
Traçons la hauteur issue de A sur l'hypoténuse.
La hauteur AH mesure 2,4. Elle partage l'hypoténuse en deux segments de longueurs 1,8 et 3,2.
L'aire du carré construit sur cette hauteur vaut :
$$ \overline{AH}^2 = 2.4^2 = 5.76 $$
L'aire du rectangle de côtés 1,8 et 3,2 est :
$$ \overline{BH} \cdot \overline{CH} = 3.2 \cdot 1.8 = 5.76 $$
Les deux figures possèdent donc la même aire. Elles sont ainsi équivalentes.
Démonstration
Considérons le triangle ABC, rectangle en C.
Les côtés de l'angle droit sont AC et BC.
La hauteur CH est menée du sommet C à l'hypoténuse AB.
Construisons un carré Q1 sur le segment CH.
Le point H est le pied de la hauteur. Il partage l'hypoténuse en deux segments, AH et BH, qui correspondent aux projections orthogonales des deux côtés de l'angle droit.
$$ \overline{AB} = \overline{AH} + \overline{BH} $$
Construisons ensuite un rectangle R1 sur le segment AH. Ses côtés latéraux sont congruents aux segments AD, EH et AB.
$$ AD \cong EH \cong AB $$
Le rectangle R1 se décompose en un carré Q2, de côté AH, et en un rectangle R2.
$$ R1 \doteq Q2 + R2 $$
Les côtés du rectangle R2 correspondent précisément aux projections des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.
$$ AH \cong FG \cong DE $$
$$ BH \cong FD \cong EG $$
Il suffit donc de montrer que le carré Q1 et le rectangle R2 possèdent la même aire.
Considérons maintenant le triangle rectangle AHC, inclus dans le triangle ABC.
D'après le théorème de Pythagore, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse AC est égale à la somme des aires des carrés construits sur AH et CH.
$$ Q3 \doteq Q1 + Q2 $$
On obtient donc :
$$ Q1 \doteq Q3 - Q2 $$
D'après le premier théorème d'Euclide, le carré Q3 est équivalent au rectangle R1.
$$ Q3 \doteq R1 $$
Or :
$$ Q3 \doteq Q2 + R2 $$
Par conséquent :
$$ R2 \doteq Q3 - Q2 $$
Comme Q1 est lui aussi équivalent à Q3 - Q2, on obtient :
$$ R2 \doteq Q3 - Q2 \doteq Q1 $$
Par transitivité, le carré Q1 et le rectangle R2 sont donc équivalents.
$$ R2 \doteq Q1 $$
Le deuxième théorème d'Euclide est ainsi démontré : le carré construit sur la hauteur relative à l'hypoténuse possède la même aire que le rectangle dont les côtés sont les projections des deux côtés de l'angle droit sur cette hypoténuse.
Corollaire
Dans un triangle rectangle, la hauteur (h) relative à l'hypoténuse est la moyenne géométrique des projections p1 et p2 des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse.
$$ p_1 : h = h : p_2 $$
Autrement dit, la projection du côté le plus court de l'angle droit (p1) est à la hauteur (h) ce que la hauteur est à la projection du côté le plus long (p2).
Cette propriété montre que le carré construit sur la hauteur possède exactement la même aire que le rectangle dont les côtés sont les deux projections sur l'hypoténuse.
$$ \frac{p_1}{h} = \frac{h}{p_2} $$
$$ h^2 = p_1 \cdot p_2 $$
On retrouve ainsi la relation fondamentale exprimée par le deuxième théorème d'Euclide.
Exemple
Appliquons maintenant ce corollaire à un triangle rectangle dont toutes les dimensions sont connues.
Le côté le plus court de l'angle droit, AC, mesure 3, tandis que le plus long, AB, mesure 4. La hauteur relative à l'hypoténuse est égale à 2,4.
Le corollaire affirme que la relation suivante doit être vérifiée :
$$ p_1 : h = h : p_2 $$
En remplaçant la hauteur par sa valeur, on obtient :
$$ p_1 : 2.4 = 2.4 : p_2 $$
Les projections des deux côtés de l'angle droit valent respectivement 1,8 et 3,2.
$$ 1.8 : 2.4 = 2.4 : 3.2 $$
En écrivant cette proportion sous forme de fractions :
$$ \frac{1.8}{2.4} = \frac{2.4}{3.2} $$
Après simplification, on obtient :
$$ 0.75 = 0.75 $$
Le calcul confirme donc parfaitement le corollaire.
Démonstration
Considérons un triangle rectangle ABC.
La hauteur CH, relative à l'hypoténuse, partage l'angle droit en deux angles complémentaires, notés γ1 et γ2, tels que :
$$ \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ $$
Cette même hauteur partage également le triangle initial en deux triangles rectangles, ACH et CBH.
Comme la somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°, on obtient dans le triangle ACH :
$$ \alpha + \gamma_1 + 90^\circ = 180^\circ $$
d'où :
$$ \alpha + \gamma_1 = 90^\circ $$
Les angles α et γ1 sont donc complémentaires.
Or, puisque γ1 + γ2 = 90^\circ, les angles α et γ2 sont complémentaires d'un même angle. Ils sont donc égaux :
$$ \alpha \cong \gamma_2 $$
D'après le premier critère de similitude des triangles, les triangles ACH et CBH sont semblables, car ils possèdent deux angles respectivement égaux : l'angle droit et l'angle aigu α, égal à γ2.
$$ ACH \approx CBH $$
Les côtés homologues de deux triangles semblables étant proportionnels, on en déduit :
$$ \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{BH} $$
En particulier :
$$ \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{BH} $$
Or, AH est la projection p1 du côté le plus court sur l'hypoténuse, tandis que BH est la projection p2 du côté le plus long.
La relation précédente devient alors :
$$ p_1 : \overline{CH} = \overline{CH} : p_2 $$
Enfin, puisque CH représente la hauteur h du triangle rectangle, on obtient :
$$ p_1 : h = h : p_2 $$
Le corollaire du deuxième théorème d'Euclide est ainsi démontré.
