Rayon du cercle circonscrit à un triangle
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle se calcule en divisant le produit des longueurs de ses trois côtés (a · b · c) par quatre fois son aire (A). On obtient ainsi la formule suivante : $$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} $$ Dans cette expression, a, b et c représentent les longueurs des côtés du triangle, tandis que A désigne son aire.
Cette relation est directement liée à la formule de Héron, qui permet de calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés et de son demi-périmètre.
$$ A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} $$
Ici, p désigne le demi-périmètre du triangle, défini par :
$$ p = \frac{a + b + c}{2} $$
En remplaçant l'aire A par son expression donnée par la formule de Héron, on obtient une formule qui relie directement les longueurs des côtés du triangle, son demi-périmètre et le rayon du cercle circonscrit :
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}} $$
Cette écriture présente un avantage pratique : il n'est plus nécessaire de calculer l'aire du triangle séparément. Il suffit de connaître les longueurs des trois côtés pour déterminer le rayon du cercle circonscrit.
La formule résulte des propriétés géométriques du triangle et de son cercle circonscrit. La démonstration présentée ci-dessous montre, étape par étape, comment cette relation est obtenue.
Exemple d'application
Appliquons la formule à un cas concret. Considérons un cercle de centre O et de rayon OA = 3, dans lequel est inscrit le triangle ABC.
Nous souhaitons vérifier la formule :
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} $$
Les longueurs des côtés sont :
$$ a = 5.9201 \qquad b = 4.9066 \qquad c = 4.2055 $$
En les remplaçant dans la formule, on obtient :
$$ r = \frac{5.9201 \cdot 4.9066 \cdot 4.2055}{4 \cdot A} $$
$$ r = \frac{122.1586}{4 \cdot A} $$
L'aire du triangle vaut :
$$ A = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{5.9201 \cdot 3.4391}{2} = 10.1799 $$
En remplaçant cette valeur dans l'expression précédente :
$$ r = \frac{122.1586}{4 \cdot 10.1799} \approx 3 $$
Le calcul confirme que le rayon du cercle circonscrit est bien égal à 3.
Cet exemple montre que la formule permet de retrouver avec précision le rayon du cercle à partir des seules dimensions du triangle.
Démonstration
Considérons un cercle de centre O et de rayon OA.
Plaçons trois points distincts A, B et C sur le cercle, puis relions-les afin de former le triangle ABC.
Traçons ensuite le diamètre AD du cercle, de longueur d, ainsi que la hauteur AH, de longueur h, issue du sommet A.
Cette construction fait apparaître deux triangles rectangles : AHC et ABD.
- Le triangle AHC est rectangle en H, puisque AH est perpendiculaire au côté BC.
- Le triangle ABD est rectangle en B, car AD est un diamètre du cercle. D'après le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, tout angle inscrit qui intercepte un diamètre est un angle droit.
Les deux triangles possèdent également un second angle de même mesure :
- Les angles AHC et ABD mesurent chacun 90°.
- Les angles ACH et ADB, notés respectivement β et β′, sont égaux. En effet, H appartient à la droite BC, donc l'angle ACH est égal à l'angle ACB. Or les angles inscrits ACB et ADB interceptent le même arc AB ; ils ont donc la même mesure.
D'après les critères de similitude des triangles, les triangles AHC et ABD sont donc semblables :
$$ AHC \sim ABD $$
Leurs côtés homologues sont proportionnels, ce qui donne :
$$ a : h = d : c $$
Comme le diamètre vaut deux fois le rayon (d = 2r), on obtient :
$$ a : h = 2r : c $$
Soit, sous forme de fraction :
$$ \frac{a}{h} = \frac{2r}{c} $$
En effectuant le produit en croix :
$$ a \cdot c = 2r \cdot h $$
En isolant ensuite le rayon :
$$ r = \frac{a \cdot c}{2h} $$
Multiplions maintenant le numérateur et le dénominateur par b :
$$ r = \frac{a \cdot c}{2h} \cdot \frac{b}{b} $$
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{2h \cdot b} $$
Or l'aire du triangle est donnée par :
$$ A = \frac{b \cdot h}{2} $$
Par conséquent :
$$ b \cdot h = 2A $$
En remplaçant cette expression dans la formule précédente, on obtient :
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 \cdot (2A)} $$
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4A} $$
Nous retrouvons ainsi la formule du rayon du cercle circonscrit :
$$ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4A} $$
Cette démonstration met en évidence le lien étroit entre les propriétés de similitude des triangles et la géométrie du cercle circonscrit. Elle montre pourquoi cette formule est à la fois élégante, rigoureuse et particulièrement utile en géométrie.
