Deuxième critère de similitude des triangles

Deux triangles sont semblables lorsque deux côtés homologues sont proportionnels et que les angles compris entre ces côtés ont la même mesure.

Autrement dit, il suffit de vérifier deux conditions :

• deux côtés homologues sont proportionnels ;
• l'angle compris entre ces deux côtés est le même dans les deux triangles.

Lorsque ces deux conditions sont réunies, les triangles sont semblables.

Ce résultat est connu sous le nom de critère de similitude CAC (Côté-Angle-Côté).

Exemple

Considérons les triangles ABC et A'B'C'.

Les côtés AB et A'B', ainsi que AC et A'C', sont proportionnels :

$$ \overline{AB} : \overline{A'B'} = \overline{AC} : \overline{A'C'} $$

On peut écrire cette relation sous forme de fractions :

$$ \frac{ \overline{AB} }{ \overline{A'B'}} = \frac{ \overline{AC} }{ \overline{A'C'}} $$

Comme AB = 3, AC = 2, A'B' = 6 et A'C' = 4, on obtient :

$$ \frac{ 3 }{ 6} = \frac{ 2 }{ 4} $$

$$ \frac{ 1 }{ 2} = \frac{ 1 }{ 2} $$

Les angles α et α', compris entre les côtés considérés, ont également la même mesure. Dans cet exemple, ce sont deux angles droits :

$$ \alpha = \alpha' $$

Les conditions du deuxième critère de similitude sont donc satisfaites. Les triangles ABC et A'B'C' sont par conséquent semblables.

Ils possèdent donc les mêmes angles et leurs côtés homologues restent proportionnels.

Démonstration

Considérons à nouveau les triangles ABC et A'B'C'.

Supposons que les côtés AB et AC du triangle ABC soient respectivement proportionnels aux côtés A'B' et A'C' du triangle A'B'C' :

$$ \overline{A'B'} : \overline{AB} = \overline{A'C'} : \overline{AC} $$

Autrement dit :

$$ \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = k $$

Supposons également que les angles compris entre ces côtés soient égaux :

$$ \alpha = \alpha' $$

Nous voulons démontrer que :

$$ ABC \approx A'B'C' $$

Pour cela, examinons deux situations.

1) Les segments AB et A'B' ont la même longueur

Si AB = A'B', la proportionnalité des côtés entraîne immédiatement :

$$ \overline{AB} : \overline{A'B'} = \overline{AC} : \overline{A'C'} $$

Remarque : puisque AB = A'B', le rapport AB/A'B' vaut 1. On obtient donc : $$ 1 = \overline{AC} : \overline{A'C'} $$ soit : $$ 1 = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} $$ En multipliant les deux membres par A'C', on trouve : $$ \overline{A'C'} = \overline{AC} $$ Les segments AC et A'C' ont donc eux aussi la même longueur.

Nous avons alors :

• AB = A'B' ;
• AC = A'C' ;
• α = α'.

D'après le premier critère d'égalité des triangles (critère CAC), les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.

$$ ABC \cong A'B'C' $$

Or deux triangles isométriques sont toujours semblables. On obtient donc :

$$ ABC \approx A'B'C' $$

2) Les segments AB et A'B' n'ont pas la même longueur

Supposons maintenant que AB et A'B' soient de longueurs différentes. Posons :

$$ k = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} $$

Appliquons au triangle ABC une homothétie de centre A et de rapport k. On obtient un nouveau triangle AB"C".

Remarque : le point A est choisi comme centre de l'homothétie afin de simplifier la démonstration. Comme ce point reste fixe, l'angle α est conservé. Un autre centre conduirait au même résultat, mais la démonstration serait moins directe.

Au cours de la transformation, le point A reste un point fixe.

Par définition de l'homothétie :

$$ \frac{\overline{AB"}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AC"}}{\overline{AC}} = k $$

Or, par hypothèse :

$$ \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = k $$

On en déduit :

$$ \frac{\overline{AB"}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} $$

En multipliant les deux membres par AB :

$$ \overline{AB"} = \overline{A'B'} $$

De la même manière :

$$ \frac{\overline{AC"}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} $$

En multipliant les deux membres par AC :

$$ \overline{AC"} = \overline{A'C'} $$

Les segments AB" et A'B' ont donc la même longueur, de même que les segments AC" et A'C'.

Par ailleurs, une homothétie conserve les angles. Ainsi :

$$ \widehat{B"AC"} = \alpha $$

Or :

$$ \alpha = \alpha' $$

Par conséquent :

$$ \widehat{B"AC"} = \alpha' $$

Les triangles A'B'C' et AB"C" possèdent donc :

• deux côtés homologues de même longueur ;
• l'angle compris entre ces côtés de même mesure.

D'après le premier critère d'égalité des triangles, ils sont isométriques :

$$ A'B'C' \cong AB"C" $$

Le triangle AB"C" est l'image du triangle ABC par une homothétie. Or toute homothétie est une transformation de similitude. Les triangles AB"C" et ABC sont donc semblables :

$$ AB"C" \approx ABC $$

Explication : une similitude est une transformation qui conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par un même facteur positif. L'homothétie est un cas particulier de similitude. Elle transforme donc toujours une figure en une figure semblable à la figure d'origine. Ainsi : $$ AB"C" \approx ABC $$

Enfin, comme A'B'C' est isométrique à AB"C", il lui est également semblable. Par transitivité de la similitude, on conclut que :

$$ A'B'C' \approx ABC $$

3) Conclusion

Que les segments AB et A'B' aient ou non la même longueur, le raisonnement conduit dans les deux cas à la même conclusion.

Deux triangles sont donc semblables lorsque deux côtés homologues sont proportionnels et que les angles compris entre ces côtés ont la même mesure.

Le deuxième critère de similitude des triangles est ainsi démontré.