Troisième cas de similitude des triangles
Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés homologues sont proportionnels.
Le troisième cas de similitude affirme que deux triangles sont semblables dès lors que leurs côtés homologues sont proportionnels.
Ce critère est également appelé le cas de similitude Côté-Côté-Côté (CCC).
Exemple
Considérons deux triangles ABC et A'B'C' dont les côtés homologues sont proportionnels.
Dans cet exemple, le rapport de similitude est égal à 2.
$$ \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = \frac{4}{2} = 2 $$
$$ \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } = \frac{6}{3} = 2 $$
$$ \frac{ \overline{B'C'} }{ \overline{BC} } = \frac{7.2}{3.6} = 2 $$
Les trois rapports étant égaux, le troisième cas de similitude permet de conclure que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables :
$$ ABC \approx A'B'C' $$
Ils ont donc exactement la même forme, même si leurs dimensions sont différentes.
Démonstration
Considérons deux triangles ABC et A'B'C'.
Par hypothèse, leurs côtés homologues sont proportionnels :
$$ \overline{A'B'}:\overline{AB} = \overline{B'C'}:\overline{BC} = \overline{A'C'}:\overline{AC} $$
Cette relation peut également s'écrire sous la forme :
$$ \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{B'C'} }{ \overline{BC} } = \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } = k $$
où \( k \) est le rapport de similitude.
Nous devons démontrer que :
$$ ABC \approx A'B'C' $$
Examinons successivement les deux situations possibles.
1] Les segments AB et A'B' ont la même longueur
Si les segments AB et A'B' sont isométriques, on a :
$$ \overline{A'B'} \cong \overline{AB} $$
Le rapport de similitude vaut alors :
$$ k = \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = 1 $$
Les autres rapports sont donc eux aussi égaux à 1 :
$$ \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{B'C'} }{ \overline{BC} } = \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } = 1 $$
Par conséquent, tous les côtés homologues ont la même longueur :
$$ \overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$
$$ \overline{BC} \cong \overline{B'C'} $$
$$ \overline{AC} \cong \overline{A'C'} $$
D'après le troisième cas d'égalité des triangles, les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.
$$ ABC \cong A'B'C' $$
Or deux triangles isométriques sont toujours semblables. On en conclut donc que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
2] Les segments AB et A'B' n'ont pas la même longueur
Supposons maintenant que les segments AB et A'B' soient de longueurs différentes. Le rapport de similitude vérifie alors :
$$ k = \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } \ne 1 $$
Les autres côtés homologues vérifient la même relation :
$$ \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{B'C'} }{ \overline{BC} } = \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } = k \ne 1 $$
Appliquons alors au triangle ABC une homothétie de centre A et de rapport \( k \).
On obtient le triangle A"B"C", image du triangle ABC par cette homothétie.
Par définition, une homothétie conserve la forme des figures. Les triangles A"B"C" et ABC sont donc semblables.
$$ A"B"C" \approx ABC $$
Choisissons le rapport de l'homothétie égal au rapport de similitude :
$$ \frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{B'C'} }{ \overline{BC} } = \frac{ \overline{A'C'} }{ \overline{AC} } = k $$
Les longueurs des côtés du triangle A"B"C" sont alors :
$$ \overline{A''B''} = k \cdot \overline{AB} $$
$$ \overline{B''C''} = k \cdot \overline{BC} $$
$$ \overline{A''C''} = k \cdot \overline{AC} $$
Or, d'après l'hypothèse :
$$ \overline{A'B'} = k \cdot \overline{AB} $$
$$ \overline{B'C'} = k \cdot \overline{BC} $$
$$ \overline{A'C'} = k \cdot \overline{AC} $$
On en déduit immédiatement :
$$ \overline{A''B''} = \overline{A'B'} $$
$$ \overline{B''C''} = \overline{B'C'} $$
$$ \overline{A''C''} = \overline{A'C'} $$
Les triangles A"B"C" et A'B'C' ont donc leurs trois côtés homologues de même longueur.
D'après le troisième cas d'égalité des triangles, ils sont isométriques :
$$ A'B'C' \cong A''B''C'' $$
Deux triangles isométriques étant également semblables, on obtient :
$$ A'B'C' \approx A''B''C'' $$
Comme le triangle A''B''C'' est semblable au triangle ABC puisqu'il en est l'image par homothétie, la transitivité de la similitude permet de conclure que :
$$ A'B'C' \approx A''B''C'' \approx ABC $$
Les triangles A'B'C' et ABC sont donc semblables dans ce second cas également.
3) Conclusion
Dans les deux situations étudiées, que les segments AB et A'B' aient ou non la même longueur, on démontre que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Le troisième cas de similitude des triangles est ainsi démontré.
