Relation entre le côté d'un carré et le rayon du cercle inscrit

Dans un carré, la longueur du côté est égale au double du rayon du cercle inscrit. Autrement dit, elle est exactement égale au diamètre de ce cercle. $$ L = 2r $$ rayon du cercle inscrit dans un carré

Cette relation permet également d'exprimer le rayon du cercle inscrit en fonction de la longueur du côté du carré :

$$ r = \frac{L}{2} $$

Cette propriété est l'une des plus simples de la géométrie du carré, mais elle est aussi l'une des plus utiles. Elle intervient fréquemment dans les exercices de géométrie, de trigonométrie et de calcul des aires.

La démonstration repose uniquement sur les propriétés fondamentales du carré et du cercle inscrit. Aucune construction complexe n'est nécessaire.

Démonstration

Considérons un carré ABCD dans lequel est inscrit un cercle.

Le centre $O$ du cercle inscrit coïncide avec le centre géométrique du carré.

carré avec un cercle inscrit

Notons ce point $O$ et appelons $r$ le rayon du cercle.

rayon du cercle inscrit

Le cercle est tangent à chacun des côtés du carré en un unique point, que nous noterons $P$, $Q$, $R$ et $S$.

Par définition, un rayon mené jusqu'à un point de tangence est perpendiculaire à la tangente. Les segments OP, OQ, OR et OS sont donc perpendiculaires aux côtés du carré et forment des angles droits de 90°.

points de tangence du cercle inscrit avec les côtés du carré

Traçons maintenant les deux diagonales du carré.

Dans tout carré, les diagonales sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Leur point d'intersection est le centre du carré. Il coïncide donc avec le centre $O$ du cercle inscrit.

diagonales du carré et centre du cercle inscrit

Les diagonales, associées aux rayons reliant le centre aux points de tangence, découpent le carré en huit triangles : AOP, AOS, BOP, BOQ, COQ, COR, DOR et DOS.

Ces huit triangles possèdent plusieurs propriétés importantes :

Ce sont des triangles rectangles, puisque les rayons sont perpendiculaires aux côtés du carré.
Ce sont également des triangles rectangles isocèles. Chacun possède deux angles de 45°, ce qui implique que les deux côtés adjacents à l'angle droit sont de même longueur.
Remarque : L'angle complet autour du point $O$, égal à 360°, est partagé en huit angles de 45°. De plus, chaque diagonale est la bissectrice d'un angle du carré et partage chacun des angles droits en deux angles égaux de 45°.
Enfin, ces huit triangles sont isométriques. Ils sont donc parfaitement superposables et possèdent les mêmes dimensions.

Puisque tous ces triangles sont identiques, il suffit d'étudier le triangle AOP.

triangle rectangle isocèle AOP

Le triangle AOP étant rectangle isocèle, les segments AP et OP sont égaux.

$$ \overline{AP} = \overline{OP} $$

Or, le segment OP représente le rayon du cercle inscrit.

$$ \overline{OP} = r $$

Le point de tangence $P$ est situé au milieu du côté AB. Le segment AP est donc égal à la moitié de la longueur du côté $L$.

$$ \overline{AP} = \frac{L}{2} $$

En remplaçant ces segments par leurs expressions, on obtient :

$$ \frac{L}{2} = r $$

Il suffit ensuite de multiplier les deux membres de l'égalité par 2 :

$$ \frac{L}{2} \cdot 2 = r \cdot 2 $$

$$ L = 2r $$

La démonstration est ainsi terminée : le côté d'un carré est égal au diamètre de son cercle inscrit.

En conséquence, le rayon du cercle inscrit correspond toujours à la moitié de la longueur du côté du carré.