Aire d'un quadrilatère à diagonales perpendiculaires
L'aire \( A \) d'un quadrilatère dont les diagonales \( d_1 \) et \( d_2 \) sont perpendiculaires se calcule à l'aide de la formule suivante : $$ A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $$
Autrement dit, il suffit de multiplier les longueurs des deux diagonales, puis de diviser le résultat par 2 pour obtenir l'aire du quadrilatère.
Cette formule est valable pour tout quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires. Elle découle directement de la décomposition de la figure en quatre triangles rectangles.
Formules inverses : Lorsqu'on connaît l'aire du quadrilatère ainsi que la longueur d'une diagonale, il est possible de déterminer la longueur de l'autre grâce aux formules inverses. En isolant \( d_1 \) dans la formule de l'aire, on obtient : $$ d_1 = \frac{2A}{d_2} $$ De la même façon, en isolant \( d_2 \), on trouve : $$ d_2 = \frac{2A}{d_1} $$ Ces relations sont particulièrement utiles dans les exercices de géométrie où certaines mesures doivent être déduites à partir des données disponibles.
Démonstration de la formule
Un quadrilatère est un polygone plan constitué de quatre côtés. Selon la position de ses sommets, il peut prendre des formes très différentes.
Certains quadrilatères, comme le rectangle, le losange ou le carré, possèdent des propriétés géométriques particulières, notamment en ce qui concerne leurs diagonales.
Par exemple, l'aire d'un losange est égale à la moitié du produit de ses diagonales. Cette propriété ne concerne toutefois pas uniquement le losange : elle s'applique à tout quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
Ainsi, dès que les deux diagonales sont perpendiculaires, il est possible de calculer l'aire du quadrilatère à partir de leurs seules longueurs.
Lorsque les diagonales se coupent à angle droit, elles forment quatre angles de 90° au point d'intersection.
Le quadrilatère est alors partagé en quatre triangles rectangles : ODC, OAD, OBC et OAB.
Son aire est donc égale à la somme des aires de ces quatre triangles :
$$ A = A_{ODC} + A_{OAD} + A_{OBC} + A_{OAB} $$
L'aire de chaque triangle rectangle est égale au produit de ses deux côtés perpendiculaires, divisé par deux :
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OA} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OC} }{2} + \frac{ \overline{OB} \cdot \overline{OA} }{2} $$
En réunissant tous les termes sous un même dénominateur, on obtient :
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot \overline{OC} + \overline{OD} \cdot \overline{OA} + \overline{OB} \cdot \overline{OC} + \overline{OB} \cdot \overline{OA} }{2} $$
En factorisant les termes communs, on obtient :
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot (\overline{OC} + \overline{OA}) + \overline{OB} \cdot (\overline{OC} + \overline{OA}) }{2} $$
Or, la première diagonale vérifie d1 = OC + OA. L'expression devient donc :
$$ A= \frac{ \overline{OD} \cdot d_1 + \overline{OB} \cdot d_1 }{2} $$
En mettant \( d_1 \) en facteur, on obtient :
$$ A= \frac{ d_1 \cdot (\overline{OD} + \overline{OB}) }{2} $$
Comme la seconde diagonale vérifie d2 = OD + OB, on obtient finalement :
$$ A= \frac{ d_1 \cdot d_2 }{2} $$
La formule est ainsi démontrée.
En résumé, l'aire d'un quadrilatère à diagonales perpendiculaires est égale à la moitié du produit des longueurs de ses deux diagonales. Cette relation simple permet de résoudre rapidement de nombreux problèmes de géométrie.
