Aire d'un polygone régulier

L'aire d'un polygone régulier se calcule en multipliant son demi-périmètre (p) par son apothème (a) : $$ A = p \cdot a $$ L'apothème correspond à la distance entre le centre du polygone et l'un de ses côtés. Le demi-périmètre est, quant à lui, égal à la moitié du périmètre : 2p = P, donc p = P/2.

Pourquoi cette formule fonctionne-t-elle ?

Pour comprendre cette formule, il suffit de décomposer un polygone régulier en plusieurs triangles isocèles congruents. Tous ont pour sommet le centre du polygone et pour base l'un de ses côtés.

Un hexagone régulier, par exemple, peut être décomposé en 6 triangles congruents.

L'aire de chacun de ces triangles se calcule avec la formule habituelle : on multiplie la longueur de la base (l) par la hauteur (h), puis on divise le résultat par deux :

$$ \frac{l \cdot h}{2} $$

Dans un polygone régulier, la hauteur de chacun de ces triangles est précisément l'apothème (a). Il s'agit de la distance perpendiculaire entre le centre du polygone et l'un de ses côtés.

L'aire d'un triangle vaut donc :

$$ \frac{l \cdot a}{2} $$

Pour obtenir l'aire totale du polygone, il suffit de multiplier cette expression par le nombre de côtés (n) :

$$ A = n \cdot \frac{l \cdot a}{2} $$

Dans le cas d'un hexagone régulier, on obtient par exemple : $$ A = 6 \cdot \frac{l \cdot a}{2} $$

Or, le périmètre d'un polygone régulier est donné par $$ P = n \cdot l $$ On peut donc remplacer le produit n · l par P et écrire :

$$ A = \frac{P \cdot a}{2} $$

Comme le demi-périmètre est égal à $$ p = \frac{P}{2} $$ on obtient finalement la formule la plus simple :

$$ A = p \cdot a $$

Autrement dit, l'aire d'un polygone régulier est égale au produit de son demi-périmètre par son apothème.

Exemple de calcul avec un hexagone

Considérons un hexagone régulier dont chaque côté mesure l = 6 et dont l'apothème vaut a = 5,2.

Commençons par calculer son périmètre (P). L'hexagone ayant 6 côtés de longueur 6 :

$$ P = 6 \cdot 6 = 36 $$

Calculons ensuite le demi-périmètre (p) :

$$ p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 $$

Il suffit maintenant d'appliquer la formule de l'aire :

$$ A = p \cdot a = 18 \cdot 5{,}2 = 93{,}6 $$

L'aire de l'hexagone est donc de 93,6 unités carrées.

Remarque : On peut retrouver le même résultat en calculant d'abord l'aire de l'un des 6 triangles, puis en multipliant cette aire par 6 : $$ A_t = \frac{l \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot 5{,}2}{2} = \frac{31{,}2}{2} = 15{,}6 $$ $$ A = A_t \cdot 6 = 15{,}6 \cdot 6 = 93{,}6 $$

Cette méthode ne se limite pas à l'hexagone. Elle s'applique à tout polygone régulier.

Qu'il s'agisse d'un pentagone, d'un octogone ou d'un décagone régulier, le raisonnement est exactement le même.

Exemple 2

Considérons cette fois un pentagone régulier dont chaque côté mesure l = 2,5 et dont l'apothème vaut a = 1,72.

Remarque : Un pentagone régulier peut être décomposé en 5 triangles congruents.

Calculons d'abord le périmètre (P) :

$$ P = 5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5 $$

Le demi-périmètre (p) vaut alors :

$$ p = \frac{P}{2} = \frac{12{,}5}{2} = 6{,}25 $$

On peut maintenant calculer l'aire :

$$ A = p \cdot a = 6{,}25 \cdot 1{,}72 = 10{,}75 $$

L'aire du pentagone est donc de 10,75 unités carrées.

Remarques et propriétés utiles

• Formules inverses : À partir de $$ A = p \cdot a $$ on peut isoler le demi-périmètre ou l'apothème : $$ p = \frac{A}{a} $$ $$ a = \frac{A}{p} $$ On en déduit également : $$ P = 2p = \frac{2A}{a} $$
• L'apothème est perpendiculaire au côté auquel il aboutit. Dans un polygone régulier, sa longueur est égale au rayon du cercle inscrit.
• Polygones comportant un grand nombre de côtés : Plus le nombre de côtés d'un polygone régulier augmente, plus sa forme se rapproche de celle d'un cercle. Son apothème se rapproche alors du rayon de ce cercle.
• Relation entre l'apothème, le rayon et les angles : L'apothème, le rayon du cercle circonscrit et les angles au centre sont liés par des relations trigonométriques. Dans un hexagone régulier, par exemple, l'angle au centre mesure 60° (360° ÷ 6). La trigonométrie permet donc de calculer l'apothème à partir du rayon du cercle circonscrit, et inversement.
• Équivalence entre un polygone régulier et un triangle : L'aire d'un polygone régulier est égale à celle d'un triangle dont la base a pour longueur le périmètre du polygone et dont la hauteur est égale à l'apothème.
  

Le même principe permet ainsi de calculer simplement l'aire de n'importe quel polygone régulier dès lors que l'on connaît son périmètre, ou son demi-périmètre, et son apothème.