Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles.
Les deux côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze. Ce sont elles qui déterminent la forme générale de cette figure géométrique.
Lorsque les deux bases ont des longueurs différentes, on distingue la grande base et la petite base.
- Grande base
La grande base est la plus longue des deux bases du trapèze. - Petite base
La petite base est la plus courte des deux bases du trapèze.
La distance entre les deux droites parallèles qui portent les bases est appelée hauteur du trapèze. Elle correspond à la longueur d'un segment perpendiculaire à ces deux droites et compris entre elles.
Les deux autres côtés du trapèze sont appelés côtés non parallèles ou côtés latéraux.
Le trapèze possède une propriété importante : les deux angles intérieurs situés le long d'un même côté non parallèle sont supplémentaires. Autrement dit, leur somme est égale à 180°.
Il existe plusieurs types particuliers de trapèzes. Le trapèze rectangle possède un côté non parallèle perpendiculaire aux bases ; le trapèze scalène a deux côtés non parallèles de longueurs différentes ; le trapèze isocèle possède deux côtés non parallèles de même longueur.
Formules du trapèze
Les principales grandeurs d'un trapèze peuvent être calculées à l'aide de quelques formules simples. Voici celles du périmètre et de l'aire :
- Périmètre
Le périmètre d'un trapèze est égal à la somme des longueurs de ses quatre côtés, c'est-à-dire de ses deux bases et de ses deux côtés non parallèles. $$ P = l_1 + l_2 + b_1 + b_2 $$ - Aire du trapèze
L'aire d'un trapèze est égale au produit de sa hauteur par la demi-somme des longueurs de ses deux bases. $$ A = \frac{(a+b) \cdot h}{2} $$
Types de trapèzes
Selon les propriétés de leurs côtés et de leurs angles, on distingue notamment trois types de trapèzes :
- Trapèze scalène
Un trapèze scalène est un trapèze dont les deux côtés non parallèles ont des longueurs différentes.
- Trapèze isocèle
Un trapèze isocèle est un trapèze dont les deux côtés non parallèles ont la même longueur. Cette symétrie lui confère également des propriétés particulières concernant ses angles et ses diagonales.
- Trapèze rectangle
Un trapèze rectangle est un trapèze dont l'un des côtés non parallèles est perpendiculaire aux bases. Il possède donc deux angles droits. Dans cette configuration, la longueur de ce côté correspond à la hauteur du trapèze.
La notion de trapèze remonte à la géométrie grecque antique, au sein de laquelle des mathématiciens comme Euclide ont entrepris de classer et d'étudier systématiquement les figures géométriques. La terminologie et la classification des quadrilatères ont toutefois évolué au fil des siècles. Chez Euclide, le terme correspondant au trapèze était employé dans une acception plus large que celle retenue aujourd'hui et s'inscrivait dans une classification des quadrilatères différente de la classification moderne. Les commentateurs grecs postérieurs, notamment Proclus, ont ensuite contribué à préciser et à discuter ces catégories. Dans la terminologie géométrique française actuelle, un trapèze est défini comme un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles.
Remarques complémentaires
Les propriétés des droites parallèles permettent de mieux comprendre la géométrie du trapèze et, en particulier, les relations entre ses angles.
- Chaque côté non parallèle d'un trapèze est porté par une sécante aux deux droites parallèles contenant les bases
Cette configuration permet d'appliquer les propriétés des angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, notamment celles présentées dans le théorème des droites parallèles, afin d'étudier les angles intérieurs du trapèze.
- Les angles intérieurs situés le long d'un même côté non parallèle d'un trapèze sont supplémentaires (180°)
Démonstration : considérons les deux bases parallèles du trapèze, portées par les droites (AB) et (CD). La droite portant l'un des côtés non parallèles, par exemple (AD) ou (BC), est une sécante à ces deux droites parallèles. Les deux angles intérieurs du trapèze situés le long de ce côté sont alors des angles intérieurs situés du même côté de la sécante. D'après les propriétés des angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, rappelées dans le théorème des droites parallèles, ces deux angles sont supplémentaires. Leur somme est donc égale à 180°.
- Dans un trapèze isocèle, les deux angles adjacents à une même base sont égaux.
- Dans un trapèze isocèle, les deux diagonales ont la même longueur.
Ces propriétés permettent d'étudier plus facilement les longueurs et les angles d'un trapèze et constituent la base de nombreux exercices de géométrie.
