Trapèze isocèle

Un trapèze isocèle est un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur.

Le trapèze isocèle appartient à la famille des trapèzes. Il possède deux côtés parallèles de longueurs différentes, appelés grande base (AB) et petite base (CD).

Sa particularité tient à ses deux côtés non parallèles de même longueur. Cette symétrie lui confère plusieurs propriétés géométriques qui permettent de le reconnaître facilement et d'en calculer les principales dimensions.

Le trapèze isocèle possède notamment les propriétés suivantes :

• Les angles adjacents à la grande base ont la même mesure (par exemple, α≅β).
• Les angles adjacents à la petite base ont eux aussi la même mesure (par exemple, γ≅δ).
  
• Les diagonales sont de même longueur.
  

Formules du trapèze isocèle

Les propriétés du trapèze isocèle permettent de calculer facilement certaines de ses dimensions. Voici les principales formules à connaître :

• Longueur d'un côté non parallèle
  La longueur de chacun des côtés non parallèles (l) peut être calculée à l'aide du théorème de Pythagore. En abaissant une hauteur depuis une extrémité de la petite base jusqu'à la grande base, on obtient un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit ont pour longueurs h et c, avec c = (b₁ - b₂)/2. On a donc : $$ l^2 = c^2 + h^2 $$ d'où : $$ l = \sqrt{c^2 + h^2} $$
• Hauteur
  La hauteur (h) du trapèze isocèle se déduit directement de la relation précédente : $$ l^2 = c^2 + h^2 $$ En isolant h², on obtient : $$ h^2 = l^2 - c^2 $$ puis : $$ h = \sqrt{l^2 - c^2} $$ Dans ces formules, l représente la longueur d'un côté non parallèle et c la moitié de la différence entre les longueurs des deux bases, soit c = (b₁ - b₂)/2.

Théorème du trapèze isocèle

Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents à une même base ont la même mesure.

Cette propriété permet d'établir une autre relation importante. Les deux bases étant parallèles, les angles intérieurs situés du même côté d'un côté non parallèle sont supplémentaires. On en déduit que les angles opposés d'un trapèze isocèle sont des angles supplémentaires : la somme de leurs mesures est donc égale à 180°.

$$ \alpha + \gamma = 180° $$

$$ \beta + \delta = 180° $$

La réciproque du théorème est également vraie :

Si, dans un trapèze, les deux angles adjacents à une même base ont la même mesure, alors ce trapèze est isocèle.

Et ainsi de suite...