Théorème des milieux dans un trapèze
Dans un trapèze, le segment EF qui joint les milieux E et F des côtés non parallèles est parallèle aux deux bases. Sa longueur est égale à la moyenne arithmétique des longueurs des bases. Autrement dit : $$ \overline{EF} = \frac{\overline{CD} + \overline{AB} }{2} $$
Un exemple
Pour comprendre ce théorème, considérons le trapèze ABCD.
Les points E et F sont respectivement les milieux des côtés non parallèles [AD] et [BC].
En reliant ces deux points, on obtient le segment [EF]. Celui-ci est parallèle aux deux bases [AB] et [CD] du trapèze.
Le théorème permet également de déterminer directement la longueur de [EF] : elle est égale à la moitié de la somme des longueurs des deux bases, c'est-à-dire à leur moyenne arithmétique.
$$ \overline{EF} = \frac{\overline{CD} + \overline{AB} }{2} $$
Démonstration
Voyons maintenant pourquoi cette propriété est vraie. Reprenons le trapèze ABCD.
Le point E est le milieu du côté non parallèle [AD].
Par définition du milieu d'un segment, E partage [AD] en deux segments de même longueur. On a donc AE ≅ DE.
Traçons ensuite la droite r passant par le milieu E du côté [AD] et parallèle à la base (AB).
D'après le théorème de Thalès appliqué aux droites parallèles, cette droite coupe le côté [BC] en son milieu F. On obtient donc BF ≅ CF.
Le segment [EF] joint ainsi les milieux des deux côtés non parallèles [AD] et [BC] du trapèze.
Traçons maintenant la diagonale [AC]. Elle partage le trapèze en deux triangles et coupe le segment [EF] au point G.
Commençons par étudier le triangle ACD.
Le segment [EG] passe par E, milieu du côté [AD], et est parallèle au côté [CD] du triangle ACD.
D'après le théorème des milieux dans un triangle, le point G est alors le milieu du côté [AC]. De plus, la longueur du segment [EG] est égale à la moitié de celle du côté [CD].
$$ \overline{EG} = \frac{ \overline{CD} }{2} $$
Intéressons-nous ensuite au triangle ABC.
Dans ce triangle, le segment [FG] joint G, milieu du côté [AC], à F, milieu du côté [BC].
D'après le théorème des milieux dans un triangle, le segment [FG] est parallèle au côté [AB] et sa longueur est égale à la moitié de celle de [AB].
$$ \overline{FG} = \frac{ \overline{AB} }{2} $$
Nous pouvons maintenant réunir ces résultats. Le segment [EF], qui joint les milieux E et F des côtés non parallèles du trapèze, est constitué des deux segments [EG] et [GF].
$$ \overline{EF} = \overline{EG} + \overline{FG} $$
Le segment [EG] est parallèle à la base [CD], tandis que [FG] est parallèle à la base [AB]. Comme les deux bases [AB] et [CD] sont elles-mêmes parallèles, les points E, G et F sont alignés sur une droite parallèle aux deux bases.
On en déduit que le segment [EF] est parallèle aux bases du trapèze.
Il reste à déterminer sa longueur. Puisque EG = CD/2 et FG = AB/2, il suffit d'additionner les longueurs de ces deux segments :
$$ \overline{EF} = \overline{EG} + \overline{FG} = \frac{ \overline{CD} }{2} + \frac{ \overline{AB} }{2} = \frac{\overline{CD} + \overline{AB} }{2} $$
La longueur de [EF] est donc bien égale à la moyenne arithmétique des longueurs des deux bases. Le théorème des milieux dans un trapèze est ainsi démontré.
Et ainsi de suite.
