Aire d'un trapèze
L'aire d'un trapèze se calcule en multipliant sa hauteur (h) par la demi-somme des longueurs de ses deux bases, soit (b1 + b2) / 2. $$ A = \frac{(b_1+b_2) \cdot h}{2} $$ Ici, b1 désigne la grande base, b2 la petite base et h la hauteur du trapèze, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre les droites qui portent les deux bases.
Un trapèze est un quadrilatère possédant au moins une paire de côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés les bases.
L'aire d'un trapèze correspond à la mesure de la surface délimitée par ses côtés. Pour la calculer, il suffit donc de connaître les longueurs des deux bases et la hauteur.
Exemple de calcul
Prenons un exemple simple. Considérons un trapèze dont la grande base mesure 8 cm, la petite base 5 cm et la hauteur 4 cm.
Appliquons directement la formule :
$$ A = \frac{(8+5) \cdot 4}{2} $$
Commençons par additionner les longueurs des deux bases :
$$ A = \frac{13 \ \text{cm} \ \cdot 4 \ \text{cm} }{2} $$
Effectuons ensuite la multiplication :
$$ A = \frac{52 \ \text{cm}^2 }{2} $$
Puis divisons le résultat par 2 :
$$ A = 26 \ \text{cm}^2 $$
Dans cet exemple, l'aire du trapèze est donc égale à 26 cm2.
Démonstration de la formule
La formule de l'aire d'un trapèze peut être démontrée simplement en décomposant la figure en formes géométriques dont on connaît déjà l'aire.
Traçons, à partir des extrémités de la petite base, deux segments perpendiculaires à la grande base. Chacun de ces segments a pour longueur la hauteur h. Le trapèze est alors décomposé en deux triangles rectangles et un rectangle central.
L'aire du trapèze est donc égale à la somme des aires des deux triangles rectangles AED et BCF et de celle du rectangle EFCD.
On peut ainsi écrire :
$$ A = \frac{ \overline{AE} \cdot h }{2} + \frac{ \overline{BF} \cdot h }{2} + h \cdot \overline{EF} $$
Dans cette expression, AE·h/2 représente l'aire du triangle AED, BF·h/2 celle du triangle BCF et h·EF celle du rectangle EFCD.
Mettons maintenant h en facteur :
$$ A = h \cdot \left( \frac{ \ \overline{AE} }{2} + \frac{ \overline{BF} }{2} + \overline{EF} \right) $$
En réduisant les termes au même dénominateur, on obtient :
$$ A = h \cdot \left( \frac{ \ \overline{AE} + \overline{BF} + 2 \cdot \overline{EF} }{2} \right) $$
Puisque EFCD est un rectangle, les segments EF et CD ont la même longueur. On peut donc écrire 2EF = EF + CD.
En remplaçant 2EF par EF + CD dans l'expression précédente :
$$ A = h \cdot \left( \frac{ \ \overline{AE} + \overline{BF} + \overline{EF} + \overline{CD} }{2} \right) $$
Or la somme des longueurs AE + EF + BF = b1 correspond à la longueur de la grande base.
Nous pouvons donc écrire :
$$ A = h \cdot \frac{ ( b_1 + \overline{CD} ) }{2} $$
Comme le segment CD = b2 correspond à la petite base, on obtient finalement :
$$ A = h \cdot \frac{ ( b_1 + b_2 ) }{2} $$
On retrouve ainsi la formule générale permettant de calculer l'aire d'un trapèze.
Une autre démonstration
Il existe une autre manière de retrouver cette formule, cette fois en transformant deux trapèzes congruents en un parallélogramme.
Considérons le trapèze ABCD.
Prolongeons la grande base AB jusqu'au point E de telle sorte que le segment BE ait la même longueur que CD, la petite base.
Prolongeons ensuite la petite base CD en construisant un segment CF de même longueur que AB, la grande base.
Traçons enfin le segment EF reliant les points E et F.
Cette construction permet d'obtenir le parallélogramme ADFE, constitué des deux trapèzes ABCD et BEFC.
Les trapèzes ABCD et BEFC sont congruents : leurs côtés correspondants ont les mêmes longueurs et ils sont disposés symétriquement dans le parallélogramme.
Ils ont donc la même aire. Par conséquent, l'aire du trapèze ABCD est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme ADFE.
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la longueur d'une base par la hauteur correspondante.
Dans notre construction, on a donc :
$$ A_p = \overline{AE} \cdot h $$
Le segment AE est formé des segments AB = b1 et BE = b2, qui correspondent respectivement à la grande base et à la petite base du trapèze initial.
On peut donc écrire :
$$ A_p = ( \overline{AB} + \overline{BE} ) \cdot h $$
Puis :
$$ A_p = ( b_1 + b_2 ) \cdot h $$
Puisque l'aire du trapèze est égale à la moitié de celle du parallélogramme, on obtient :
$$ A = \frac{A_p}{2 } $$
En remplaçant Ap par son expression :
$$ A = \frac{ ( b_1 + b_2 ) \cdot h}{2 } $$
Cette seconde démonstration conduit donc, elle aussi, à la formule générale de l'aire d'un trapèze.
On peut finalement retenir :
$$ A = \frac{(b_1+b_2) \cdot h}{2} $$
