Propriétés du trapèze isocèle

Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents à une même base ont la même mesure.

Par exemple, dans le trapèze isocèle ABCD, les angles alpha et bêta sont adjacents à la grande base AB. Ils ont donc la même mesure.

$$ \alpha \cong \beta $$

De la même façon, les angles gamma et delta, adjacents à la petite base CD, ont eux aussi la même mesure.

$$ \gamma \cong \delta $$

Corollaire : Dans un trapèze isocèle, les angles opposés sont supplémentaires. Autrement dit, la somme de leurs mesures est égale à 180°. $$ \alpha + \gamma = 180° $$ $$ \beta + \delta = 180° $$

Démonstration

Considérons un trapèze isocèle ABDC.

Par définition, les deux côtés non parallèles d'un trapèze isocèle ont la même longueur. On a donc AD ≅ CB.

Pour mettre en évidence les propriétés de cette figure, abaissons les hauteurs issues des sommets de la petite base sur la grande base. Le trapèze est alors décomposé en trois parties : deux triangles rectangles, ADE et BCF, et un quadrilatère central. Celui-ci est un rectangle, ou un carré dans le cas particulier où ses quatre côtés ont la même longueur.

Le quadrilatère central possède quatre angles droits. Il s'agit donc d'un rectangle, le carré étant un cas particulier de rectangle.

Par ailleurs, les segments DE et CF sont deux hauteurs comprises entre les droites parallèles qui portent les bases du trapèze. Ils ont donc la même longueur :

DE ≅ CF

D'après le critère de congruence des triangles rectangles, les triangles ADE et BCF sont congruents, ADE ≅ BCF. En effet, leurs hypoténuses ont la même longueur, AD ≅ CB, et l'un de leurs côtés de l'angle droit a également la même longueur, DE ≅ CF.

Les triangles ADE et BCF étant congruents, leurs angles correspondants ont la même mesure.

On obtient notamment :

$$ \alpha = \beta $$

Considérons maintenant le côté AD comme une sécante aux deux droites parallèles AB et CD. Nous pouvons alors appliquer les propriétés des angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, rappelées dans le théorème des droites parallèles.

Les angles alpha et delta sont des angles intérieurs situés du même côté de la sécante. Ils sont donc supplémentaires. La somme de leurs mesures est ainsi égale à 180°.

$$ \alpha + \delta = 180° $$

Appliquons le même raisonnement au côté BC, considéré à son tour comme une sécante aux deux droites parallèles AB et CD.

Les angles bêta et gamma sont eux aussi supplémentaires. On obtient donc :

$$ \beta + \gamma = 180° $$

Nous savons maintenant que α ≅ β. Or les angles supplémentaires de deux angles de même mesure ont eux aussi la même mesure. Il en résulte que γ ≅ δ.

Les étapes du calcul sont les suivantes :

$$ \alpha + \delta = \beta + \gamma = 180° $$

$$ \alpha + \delta = \beta + \gamma $$

$$ \alpha + \delta - \beta = \gamma $$

$$ \delta = \gamma $$

Nous avons ainsi démontré que, dans un trapèze isocèle, les angles adjacents à une même base ont la même mesure.

Cette propriété permet également de retrouver le corollaire annoncé au début. Puisque les deux angles intérieurs adjacents à un même côté non parallèle sont supplémentaires, les angles opposés d'un trapèze isocèle sont eux aussi supplémentaires. On a donc α + γ = 180° et β + δ = 180°.

Réciproque de la propriété des angles d'un trapèze isocèle

Si, dans un trapèze, les deux angles adjacents à une même base ont la même mesure, alors ce trapèze est isocèle.

Démonstration

Considérons maintenant un trapèze ABCD dans lequel les deux angles adjacents à l'une des bases ont la même mesure.

Supposons, par exemple, que les angles α ≅ β, adjacents à la base AB, aient la même mesure.

À ce stade, nous ne savons pas encore si le trapèze est isocèle. Nous savons toutefois, par définition d'un trapèze, que ses bases sont parallèles :

AB || CD

Les hauteurs DE et CF, perpendiculaires aux deux bases parallèles, représentent toutes deux la distance entre les droites AB et CD. Elles ont donc la même longueur, DE ≅ CF, et forment avec la base AB des angles droits de 90°.

Ces deux hauteurs déterminent les triangles rectangles ADE et BCF.

Les triangles ADE et BCF sont congruents d'après le deuxième critère de congruence des triangles. En effet, ils possèdent deux angles correspondants de même mesure, à savoir α ≅ β et les deux angles droits de 90°, ainsi que le côté correspondant compris entre ces angles, DE ≅ CF.

Puisque ADE ≅ BCF, leurs côtés correspondants ont la même longueur et leurs angles correspondants ont la même mesure.

En particulier, les hypoténuses correspondantes AD ≅ BC ont la même longueur. Or AD et BC sont précisément les deux côtés non parallèles du trapèze.

Nous pouvons donc conclure que, puisque les deux côtés non parallèles ont la même longueur, AD ≅ BC, le trapèze ABCD est bien un trapèze isocèle.

Et ainsi de suite.