Apothème
L'apothème d'un polygone régulier est le segment perpendiculaire qui relie le centre du polygone à l'un de ses côtés. Le point où l'apothème rencontre ce côté en est le milieu.
Autrement dit, la longueur de l'apothème correspond à la distance entre le centre du polygone et chacun de ses côtés.
Dans un polygone régulier, l'apothème est également égal au rayon du cercle inscrit.
Relation entre l'apothème et la longueur du côté d'un polygone régulier
Pour un polygone régulier ayant un nombre de côtés donné, le rapport entre l'apothème (a) et la longueur du côté (l) est constant. Nous noterons ce coefficient f : $$ f = \frac{a}{l} $$ Sa valeur dépend uniquement du nombre de côtés du polygone.
Ce rapport reste donc le même, quelles que soient les dimensions du polygone. Deux polygones réguliers semblables, même s'ils n'ont pas la même taille, possèdent ainsi la même valeur de f.
À chaque type de polygone régulier correspond donc une valeur déterminée du coefficient f.
Par exemple, pour un pentagone régulier, le coefficient f est un nombre irrationnel dont la valeur approchée est 0,688... Pour un hexagone régulier, il vaut approximativement 0,866.
Le tableau suivant présente les valeurs approchées de f pour quelques polygones réguliers courants :
| Polygone | Coefficient f |
|---|---|
| Triangle équilatéral | 0,289... |
| Carré | 0,5 |
| Pentagone | 0,688... |
| Hexagone | 0,866... |
| Heptagone | 1,038... |
| Octogone | 1,207... |
| Ennéagone | 1,374... |
| Décagone | 1,539... |
| Dodécagone | 1,866... |
Pourquoi est-il utile de connaître le coefficient f ?
Connaître le coefficient f permet de passer facilement de l'apothème à la longueur du côté. Si l'apothème est connu, la longueur du côté se calcule avec la formule : $$ l = \frac{a}{f} $$ Inversement, si l'on connaît la longueur du côté, on peut déterminer l'apothème : $$ a = l \cdot f $$
Prenons l'exemple d'un hexagone régulier dont le côté mesure 6 cm :
l'apothème se calcule de la manière suivante : $$ a = l \cdot f $$ $$ a = 6 \cdot 0{,}866 $$ $$ a = 5{,}196 $$
Le coefficient f est également très utile pour calculer l'aire d'un polygone régulier.
La formule générale de l'aire d'un polygone régulier est :
$$ A = n \cdot \frac{l \cdot a}{2} $$
où n représente le nombre de côtés, l la longueur d'un côté et a l'apothème.
Puisque $$ a = l \cdot f $$ on peut remplacer a par son expression dans la formule de l'aire :
$$ A = n \cdot \frac{l \cdot (l \cdot f)}{2} $$
En regroupant les termes, on obtient :
$$ A = n \cdot \frac{l^2 \cdot f}{2} $$
Pour simplifier cette expression, on peut regrouper le produit de la moitié du nombre de côtés par le coefficient f en une nouvelle constante, que nous noterons φ (prononcée “phi”) :
$$ \phi = \frac{n \cdot f}{2} $$
Comme le coefficient f, cette constante dépend du nombre de côtés du polygone régulier.
La formule de l'aire prend alors une forme particulièrement simple :
$$ A = l^2 \cdot \phi $$
Voici quelques valeurs approchées de φ :
| Polygone | Constante φ |
|---|---|
| Triangle équilatéral | 0,433... |
| Carré | 1 |
| Pentagone | 1,72... |
| Hexagone | 2,598... |
| Heptagone | 3,634... |
| Octogone | 4,828... |
| Ennéagone | 6,182... |
| Décagone | 7,694... |
| Dodécagone | 11,196... |
Remarque : Les formules inverses permettent également de retrouver facilement une grandeur inconnue. Par exemple, si l'on connaît l'aire (A) d'un polygone régulier, on peut déterminer la longueur de son côté à l'aide de la constante φ : $$ l = \sqrt{ \frac{A}{\phi} } $$ Cette formule s'obtient en isolant progressivement l dans l'équation : $$ A = l^2 \cdot \phi $$ $$ l^2 = \frac{A}{\phi} $$ $$ l = \sqrt{ \frac{A}{\phi} } $$
On peut procéder de la même manière pour déterminer les autres grandeurs à partir des relations précédentes.
