Hexagone

Un hexagone est un polygone à six côtés et six angles.

Lorsque les six côtés d'un hexagone ont la même longueur et que ses six angles ont la même mesure, on parle plus précisément d'un hexagone régulier.

Dans un hexagone régulier, chaque angle intérieur mesure 120°.

Il existe aussi des hexagones irréguliers : leurs côtés ne sont pas tous de même longueur et leurs angles n'ont pas tous la même mesure.

Dans la suite, sauf indication contraire, le terme “hexagone” désignera un hexagone régulier.

Formules

Voici les principales formules à connaître pour calculer le périmètre (P), l'aire (A) et certaines longueurs caractéristiques d'un hexagone régulier :

• Périmètre
  Le périmètre d'un hexagone régulier est égal à six fois la longueur de l'un de ses côtés (l) : $$ P = 6 \cdot l $$
• Aire
  Si l'on connaît le périmètre (P) et l'apothème (a), l'aire d'un hexagone régulier se calcule avec la formule : $$ A = \frac{P \cdot a}{2} \ \ \text{ou} \ \ A = 2.598 \cdot l^2 $$ où $ l $ désigne la longueur d'un côté et $ a $ l'apothème de l'hexagone. $$ a = 0.866 \cdot l $$
• Longueur du côté
  Dans un hexagone régulier, la longueur d'un côté est égale au rayon du cercle circonscrit (démonstration) : $$ l = r $$ La longueur du côté peut également être calculée à partir du rayon (r) du cercle inscrit (démonstration) : $$ l = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot r $$ Enfin, puisque l'apothème (a) est égal au rayon du cercle inscrit (r=a), on obtient : $$ l = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot a $$

Périmètre

Le périmètre d'un hexagone régulier est particulièrement simple à calculer : il suffit de multiplier la longueur d'un côté par six.

$$ P = 6 \cdot l $$

On rencontre parfois la notation “2p” pour représenter le périmètre. Dans ce cas, la lettre minuscule “p” désigne le demi-périmètre.

$$ 2p = 6 \cdot l $$

La lettre minuscule “p” peut en effet servir à désigner le demi-périmètre d'un polygone.

$$ p = \frac{P}{2} $$

La lettre majuscule “P”, quant à elle, représente le périmètre total. On a donc P=2p.

Exemple : considérons un hexagone régulier dont la longueur d'un côté est l=2.

Comme un hexagone possède n=6 côtés, son périmètre vaut P=12 : $$ P = n \cdot l = 6 \cdot 2 = 12 $$ Son demi-périmètre est donc égal à la moitié du périmètre, soit p=6 : $$ p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Apothème

L'apothème (a) d'un hexagone régulier est le segment perpendiculaire mené du centre de l'hexagone à l'un de ses côtés. Sa longueur est égale au rayon du cercle inscrit.

Pour construire l'apothème, on trace le segment (OG) qui relie le centre (O) de l'hexagone au milieu de l'un de ses côtés, perpendiculairement à ce côté.

Autrement dit, la longueur de l'apothème correspond à la distance entre le centre de l'hexagone et l'un de ses côtés.

La formule permettant de calculer l'apothème en fonction de la longueur du côté “l” est :

$$ a = l \cdot f_1 $$

où f₁ est une constante géométrique propre à l'hexagone régulier, dont la valeur approchée est f₁ = 0.866.

Qu'est-ce qu'une constante géométrique ? Dans un hexagone régulier, le rapport entre l'apothème “a” et la longueur du côté “l” est toujours le même. Il vaut approximativement 0.866 : $$ f_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866 $$ Cette valeur ne dépend pas de la taille de l'hexagone, mais uniquement de sa forme. Elle est donc identique pour tous les hexagones réguliers.

À quoi sert l'apothème ?

L'apothème intervient dans plusieurs calculs géométriques. Il est notamment très utile pour calculer l'aire d'un hexagone régulier à partir de son périmètre ou de son demi-périmètre.

Aire de l'hexagone

L'aire d'un hexagone régulier s'obtient en multipliant son demi-périmètre (p) par son apothème (a).

$$ A = p \cdot a $$

Ici, la lettre minuscule “p” désigne le demi-périmètre, tandis que la lettre majuscule “P” représente le périmètre total. Puisque P=2p, le demi-périmètre se calcule avec la relation :

$$ p = \frac{P}{2} $$

Exemple : considérons un hexagone régulier dont la longueur d'un côté est l=2.

Comme l'hexagone possède n=6 côtés, son périmètre vaut P=12 : $$ P = n \cdot l = 6 \cdot 2 = 12 $$ Son demi-périmètre vaut donc p=6 : $$ p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$ Calculons ensuite l'apothème de l'hexagone : $$ a = 0.866 \cdot l = 0.866 \cdot 2 = 1.732 $$ Nous pouvons maintenant calculer l'aire en utilisant p=6 et a=1.732 : $$ A = p \cdot a = 6 \cdot 1.732 = 10.392 $$ L'aire de l'hexagone est donc égale à 10.392.

Autre méthode pour calculer l'aire

Il existe une autre méthode rapide pour calculer l'aire d'un hexagone régulier lorsque l'on connaît uniquement la longueur de son côté. Elle consiste à utiliser une constante géométrique caractéristique de l'hexagone régulier.

$$ A = l^2 \cdot f_2 $$

Ici, “l” désigne la longueur du côté et f₂ est une constante propre à l'hexagone régulier, dont la valeur approchée est f₂ = 2.598.

Exemple : reprenons le même hexagone régulier que dans l'exemple précédent, dont la longueur du côté est l=2.

Pour calculer son aire, on multiplie le carré de la longueur du côté par la constante f₂ = 2.598 : $$ A = l^2 \cdot f_2 = 2^2 \cdot 2.598 = 4 \cdot 2.598 = 10.392 $$ L'aire de l'hexagone est donc égale à 10.392, ce qui correspond bien au résultat obtenu avec la méthode précédente.

Constantes géométriques de l'hexagone

Pour un hexagone régulier, on peut définir deux constantes géométriques : f₁ = 0.866 et f₂ = 2.598. $$ f_1 = \frac{a}{l} = 0.866 $$ $$ f_2 = 2.598 $$ Ces constantes permettent de calculer rapidement l'apothème et l'aire d'un hexagone régulier.

Les constantes f₁ et f₂ ne sont pas indépendantes : elles sont directement liées aux propriétés géométriques de l'hexagone régulier.

Rappelons tout d'abord que l'aire d'un hexagone régulier est égale au produit du demi-périmètre (p) par l'apothème (a) :

$$ A = p \cdot a $$

Dans un hexagone régulier, le rapport entre l'apothème (a) et la longueur du côté (l) est constant. Sa valeur approchée est 0.866.

$$ f_1 = \frac{a}{l} = 0.866 $$

Remarque : la constante f₁ peut également s'écrire sous sa forme exacte : $$ f_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866 $$ Cette relation apparaît clairement lorsqu'on décompose un hexagone régulier en six triangles équilatéraux.

La hauteur (h) de chacun de ces triangles équilatéraux est égale à l'apothème (a) de l'hexagone : $$ a = h $$ Or, la hauteur (h) d'un triangle équilatéral de côté l se calcule à l'aide de la formule : $$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l $$ Si l'on prend un côté de longueur unitaire, l=1, on retrouve directement la constante f₁ : $$ a = h = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866 $$

L'apothème d'un hexagone régulier peut donc être calculé directement avec la formule a = l · 0.866.

Repartons maintenant de la formule de l'aire :

$$ A = p \cdot a $$

En remplaçant l'apothème par l'expression précédente, on obtient :

$$ A = p \cdot (l \cdot 0.866) $$

Le demi-périmètre p = P/2 correspond à la moitié du périmètre de l'hexagone.

$$ A = \frac{P}{2} \cdot (l \cdot 0.866) $$

Le périmètre P = n · l s'obtient en multipliant le nombre de côtés (n = 6) par la longueur du côté “l”.

En remplaçant P par n · l, on obtient :

$$ A = \frac{n \cdot l}{2} \cdot l \cdot 0.866 $$

Puisque l'hexagone possède six côtés :

$$ A = \frac{6 \cdot l}{2} \cdot l \cdot 0.866 $$

En regroupant les termes :

$$ A = \frac{6 \cdot 0.866}{2} \cdot l^2 $$

On obtient finalement :

$$ A = 2.598 \cdot l^2 $$

La valeur 2.598 correspond donc à la constante f₂ de l'hexagone régulier. Elle permet de calculer directement l'aire dès que l'on connaît la longueur du côté.

Propriétés et remarques complémentaires

L'hexagone régulier possède plusieurs propriétés géométriques remarquables. Certaines permettent de simplifier les constructions et les calculs, tandis que d'autres expliquent pourquoi la forme hexagonale apparaît dans de nombreux domaines.

• Construction d'un hexagone régulier
  Un hexagone régulier peut être construit à la règle et au compas. Cette construction est particulièrement simple grâce à la relation entre la longueur du côté de l'hexagone et le rayon de son cercle circonscrit.
  
• Le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon de son cercle circonscrit
  Dans un hexagone régulier, la longueur d'un côté est exactement égale au rayon du cercle circonscrit. En effet, chacun des triangles formés par un côté de l'hexagone et les deux rayons reliant ses extrémités au centre du cercle est équilatéral.
  
• Relation entre le côté de l'hexagone, le rayon du cercle inscrit et l'apothème
  Dans un hexagone régulier, le rayon du cercle inscrit (r) est égal à l'apothème (a), soit r = a. La longueur du côté peut donc être exprimée en fonction de ces grandeurs à l'aide de la formule : $$ l = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot r $$
• Pavage du plan et optimisation de l'espace
  L'hexagone régulier se distingue notamment par sa capacité à paver le plan. Plusieurs hexagones réguliers peuvent être juxtaposés sans laisser d'espace vide et sans se chevaucher, ce qui permet de former un pavage régulier.
  
  Cette propriété contribue à expliquer l'intérêt des structures hexagonales dans de nombreux domaines. En architecture et en ingénierie, des cellules hexagonales sont utilisées dans certaines structures alvéolaires. En biologie, les abeilles construisent des rayons constitués d'alvéoles de forme hexagonale. En géographie économique, la forme hexagonale intervient également dans certains modèles théoriques destinés à représenter l'organisation spatiale des activités et des aires de desserte.
• Égalité entre le côté d'un hexagone régulier et le rayon du cercle circonscrit
  La longueur du côté d'un hexagone régulier est égale au rayon de son cercle circonscrit. Cette propriété découle directement de la possibilité de décomposer l'hexagone régulier en six triangles équilatéraux.
  
• Un hexagone régulier possède un centre de symétrie et six axes de symétrie passant par son centre.
  

Et ainsi de suite.