Le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon de son cercle circonscrit

Dans un hexagone régulier, la longueur d'un côté est exactement égale au rayon du cercle circonscrit. Cette propriété simple et remarquable découle directement de la géométrie de l'hexagone.

Pour comprendre pourquoi, il suffit de relier le centre du cercle aux six sommets de l'hexagone. On obtient alors six triangles équilatéraux isométriques.

Chacun de ces triangles a pour base un côté de l'hexagone. Ses deux autres côtés sont des rayons du cercle circonscrit : ils relient le centre O à deux sommets consécutifs de l'hexagone.

Comme l'hexagone est régulier, ses six sommets sont régulièrement répartis sur le cercle. L'angle plein de 360° autour du centre O est donc divisé en six angles au centre de même mesure.

Chacun de ces angles mesure :

$$ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $$

L'angle au centre, opposé à la base de chacun des six triangles, mesure donc 60°.

Dans chacun de ces triangles, les deux côtés issus du centre O sont des rayons du même cercle. Ils ont donc la même longueur. Le triangle est ainsi isocèle, et ses deux angles à la base sont égaux.

Or, la somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Chacun des deux angles à la base mesure donc :

$$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ $$

Les trois angles de chaque triangle mesurent ainsi 60°. Il s'agit donc d'un triangle équilatéral.

La base de ce triangle correspond à un côté de l'hexagone, tandis que ses deux autres côtés correspondent à deux rayons du cercle circonscrit.

Comme les trois côtés d'un triangle équilatéral ont la même longueur, on en déduit que la longueur du côté de l'hexagone régulier est égale au rayon de son cercle circonscrit.

Si l'on note a la longueur du côté de l'hexagone et R le rayon du cercle circonscrit, cette relation s'écrit simplement :

$$ a = R $$

Cette propriété rend l'hexagone régulier particulièrement intéressant en géométrie. Elle intervient notamment dans les constructions à la règle et au compas, dans l'étude des polygones réguliers et dans le calcul de leurs grandeurs géométriques.

Et ainsi de suite.