La Proportion d'Or
La Proportion d'Or est une manière particulière de diviser un segment. Elle correspond à un rapport géométrique unique dans lequel l'une des deux parties est la moyenne proportionnelle entre la longueur totale du segment et la longueur de la partie restante.
La Proportion d'Or est également connue sous les noms de divine proportion, nombre d'or ou Phi (noté φ).
Ce rapport mathématique exceptionnel apparaît dans de nombreux domaines, notamment dans la nature, l'art, l'architecture, le design et les mathématiques. Depuis l'Antiquité, il fascine les scientifiques, les artistes et les architectes en raison de ses propriétés géométriques et de son harmonie visuelle.
Remarque. Les Grecs de l'Antiquité voyaient dans la Proportion d'Or l'expression parfaite de l'harmonie des formes. Les proportions fondées sur ce rapport sont souvent perçues comme naturellement équilibrées et agréables à l'œil. On retrouve cette relation dans de nombreux phénomènes naturels, comme les proportions du corps humain, l'agencement des feuilles sur certaines plantes ou encore la forme de plusieurs coquillages. Elle a également inspiré de nombreuses réalisations artistiques et architecturales, parmi lesquelles le Parthénon d'Athènes, l'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci et bien d'autres œuvres majeures.
Considérons un segment AB divisé en deux parties : AC et CB.
Le segment AC est en Proportion d'Or par rapport au segment AB lorsque la relation suivante est vérifiée :
$$ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{CB} $$
Autrement dit, AC est la moyenne proportionnelle entre la longueur totale du segment AB et la longueur de la partie restante CB.
Le rapport entre la longueur du segment d'or AC et la longueur totale AB est une constante dont la valeur approchée est 0,618033988749895.
$$ \frac{ \overline{AC} }{ \overline{AB} } = 0,618033988749895 $$
Inversement, le rapport entre la longueur totale AB et celle du segment d'or AC est égal à 1,618033988749895. Cette constante est le célèbre nombre d'or (φ).
$$ \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AC} } = 1,618033988749895 = \phi $$
Pour calculer la longueur du segment d'or d'un segment donné, il suffit donc de multiplier la longueur totale AB par le coefficient approché 0,618.
$$ \overline{AC} = 0,618 \cdot \overline{AB} $$
Par exemple, si le segment AB mesure 5 cm,
la longueur du segment d'or AC vaut :
$$ \overline{AC} = 0,618 \cdot 5 \text{ cm} = 3,09 \text{ cm} $$
Comment obtient-on la valeur 0,618 ? Pour la déterminer algébriquement, considérons un segment AB de longueur unité (AB = 1) et notons x la longueur du segment d'or. Nous obtenons alors :
$$ 1 : x = x : (1 - x) $$
En appliquant la propriété fondamentale des proportions :
$$ x \cdot x = 1 \cdot (1 - x) $$
$$ x^2 = 1 - x $$
$$ x^2 + x - 1 = 0 $$
Il suffit ensuite de résoudre cette équation du second degré :
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} = \begin{cases} \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \text{solution non admissible} \\ \\ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = 0,618033 \end{cases} $$
Construction de la section d'or d'un segment
Considérons un segment AB.
Repérez son milieu M, puis tracez en B une droite perpendiculaire au segment, orientée vers l'extérieur.
Avec un compas centré en B et ouvert à la longueur BM, tracez un arc de cercle qui coupe cette perpendiculaire au point C.
Reliez ensuite les points A et C.
Puis, avec le compas centré en C et ouvert à la longueur CB, tracez un arc de cercle qui coupe le segment AC au point D.
Enfin, placez le compas au point A, avec une ouverture égale à AD, puis tracez un arc de cercle qui coupe le segment AB au point E.
Le segment AE est alors la section d'or du segment AB.
Démonstration
Montrons maintenant que cette construction fournit effectivement la section d'or du segment AB.
Le segment AB est la tangente au cercle de centre C, tandis que AF est une sécante.
D'après le théorème de la tangente et de la sécante, ces segments vérifient la relation :
$$ \overline{AF} : \overline{AB} = \overline{AB} : \overline{AD} $$
Appliquons ensuite la propriété de décomposition des proportions :
$$ ( \overline{AF} - \overline{AB} ) : \overline{AB} = ( \overline{AB} - \overline{AD} ) : \overline{AD} $$
Le cercle ayant pour rayon OB ≅ BM, son diamètre CE est congruent au segment AB.
$$ ( \overline{AF} - \overline{CE} ) : \overline{AB} = ( \overline{AB} - \overline{AD} ) : \overline{AD} $$
Or, la différence AF - CE est exactement égale au segment AD.
$$ \overline{AD} : \overline{AB} = ( \overline{AB} - \overline{AD} ) : \overline{AD} $$
Les segments AD et AE étant congruents, on obtient :
$$ \overline{AE} : \overline{AB} = ( \overline{AB} - \overline{AD} ) : \overline{AE} $$
Comme AB - AD est congruent à AB - AE :
$$ \overline{AE} : \overline{AB} = ( \overline{AB} - \overline{AE} ) : \overline{AE} $$
Or, AB - AE correspond au segment EB.
$$ \overline{AE} : \overline{AB} = \overline{EB} : \overline{AE} $$
En appliquant enfin la propriété de permutation des proportions :
$$ \overline{AB} : \overline{AE} = \overline{AE} : \overline{EB} $$
Cette égalité montre que le segment AB est au segment AE ce que le segment AE est au segment restant EB.
Le segment AE est donc bien la section d'or du segment AB.
Le Rectangle d'Or
Un Rectangle d'Or est un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or, soit φ ≈ 1,618…
Le rectangle ci-dessous est un exemple de Rectangle d'Or.
Le rapport entre la longueur du grand côté (3,236) et celle du petit côté (2) est, à une excellente approximation près, égal au nombre d'or.
$$ \frac{ \overline{AB} }{ \overline{AD} } = \frac{3,236}{2} = 1,618 $$
Si l'on retire au Rectangle d'Or le carré construit sur son petit côté, le rectangle restant est lui aussi un Rectangle d'Or.
Cette succession de Rectangles d'Or engendre une spirale caractéristique que l'on retrouve dans de nombreuses structures naturelles, notamment dans les coquilles de certains mollusques. Elle constitue également un motif classique en art, en architecture et en design.
Le même principe peut être reproduit indéfiniment, chaque nouveau Rectangle d'Or engendrant un autre rectangle semblable au précédent.
