Exemples résolus de dérivées de fonctions

Voici plusieurs exemples de calculs de dérivées, détaillés étape par étape afin de bien mettre en évidence la démarche.

Exemple	$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2}  \right) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$
Exemple	$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

 

Calcul de dérivée - Exemple 1

Nous cherchons à dériver la fonction suivante :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$

D’après la règle qui affirme que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, on peut écrire :

$$ \frac{d}{dx} \left( \tfrac{1}{2}x \right) + \frac{d}{dx} \left( \tfrac{1}{8}\sin(4x) \right) $$

En mettant en facteur les constantes \(1/2\) et \(1/8\) :

$$ \tfrac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}(x) + \tfrac{1}{8}\cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$

Comme la dérivée de \(x\) est 1 :

$$ \tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{8}\cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$

Pour dériver \(\sin(4x)\), on applique la règle de la chaîne. La dérivée de \(\sin(u)\) est \(\cos(u)\cdot u'\). Ici, \(u=4x\), donc \(u'=4\) :

$$ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8}\cdot (4\cos(4x)) $$

$$ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cos(4x) $$

$$ \tfrac{1}{2}\big(1+\cos(4x)\big) $$

On obtient donc :

$$ \frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{8}\sin(4x)\right) = \tfrac{1}{2}\big(1+\cos(4x)\big) $$

Remarque. Ce résultat est déjà correct et peut être donné tel quel. Mais on peut encore le simplifier en utilisant une identité trigonométrique. En effet, d’après la formule de l’angle double, \( \cos(4x)=2\cos^2(2x)-1 \). En remplaçant :

$$ \tfrac{1}{2}\big(1 + 2\cos^2(2x)-1\big) = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cos^2(2x) = \cos^2(2x) $$

On peut donc écrire la dérivée sous la forme simplifiée :

$$ \frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{8}\sin(4x)\right) = \cos^2(2x) $$

Selon le contexte, il n’est pas toujours nécessaire de pousser la simplification jusque-là. Dans bien des cas, l’expression intermédiaire est suffisante.

Calcul de dérivée - Exemple 2

Considérons maintenant la fonction :

$$ f(x) = \tfrac{x}{2}(\ln(x)-1) $$

Développons et dérivons pas à pas :

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{x}{2}\ln(x) - \tfrac{x}{2}\right) $$

En appliquant la règle de la somme :

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{x}{2}\ln(x)\right) - \frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) $$

On met en facteur la constante \(1/2\) :

$$ f'(x) = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}(x\ln(x)) - \tfrac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}(x) $$

Pour dériver \(x\ln(x)\), on utilise la règle du produit :

$$ f'(x) = \tfrac{1}{2}\big[(1)\cdot \ln(x) + x\cdot \tfrac{1}{x}\big] - \tfrac{1}{2}(1) $$

$$ f'(x) = \tfrac{1}{2}(\ln(x)+1) - \tfrac{1}{2} $$

$$ f'(x) = \tfrac{1}{2}\ln(x) $$

Enfin, d’après la propriété des logarithmes \( \ln(a^b)=b\ln(a) \) :

$$ f'(x) = \tfrac{1}{2}\ln(x) = \ln(x^{1/2}) = \ln(\sqrt{x}) $$

La dérivée est donc :

$$ f'(x) = \ln(\sqrt{x}) $$

Calcul de dérivée - Exemple 3

Nous voulons calculer la dérivée de la fonction suivante :

$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) $$

Le coefficient constant \(-\tfrac{1}{2}\) peut être mis en facteur :

$$ f'(x) = -\tfrac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\cos(2x) $$

Or \(\cos(2x)\) est une fonction composée avec \(f(u)=\cos(u)\) et \(u=2x\).

On sait que \(\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u)\) et que \(\frac{d}{dx}(2x)=2\). En appliquant la règle de la chaîne :

$$ f'(x) = -\tfrac{1}{2}\big(-\sin(2x)\cdot 2\big) $$

Ce qui se simplifie en :

$$ f'(x) = \sin(2x) $$

La dérivée de \(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\) est donc \(\sin(2x)\).

Calcul de dérivée - Exemple 4

Considérons maintenant la fonction \(\arctan(\sin(x))\) :

$$ \frac{d}{dx}\arctan(\sin(x)) $$

Il s’agit d’une fonction composée : la fonction extérieure est \(f(u)=\arctan(u)\) et la fonction intérieure \(u=\sin(x)\).

D’après la règle de la chaîne :

$$ \frac{d}{dx}\arctan(\sin(x)) = \frac{d}{dx}\sin(x)\cdot \frac{d}{du}\arctan(u) $$

Or, \(\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\) et \(\frac{d}{du}\arctan(u)=\tfrac{1}{1+u^2}\).

On obtient donc :

$$ \cos(x)\cdot \frac{1}{1+\sin^2(x)} $$

La dérivée finale est :

$$ \frac{d}{dx}\arctan(\sin(x)) = \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} $$

Calcul de dérivée - Exemple 5

Nous dérivons à présent la fonction :

$$ \frac{d}{dx}\big(-\ln(\cos(x))\big) $$

On peut mettre en facteur \(-1\) :

$$ -\frac{d}{dx}\big(\ln(\cos(x))\big) $$

Rappelons que \(\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\tfrac{1}{u(x)}\cdot u'(x)\). Ici, \(u(x)=\cos(x)\).

On obtient :

$$ -\frac{1}{\cos(x)}\cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) $$

Or, \(\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\). D’où :

$$ -\frac{1}{\cos(x)}\cdot (-\sin(x)) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$

Ce rapport est précisément la fonction tangente :

$$ \tan(x) $$

Ainsi, la dérivée de \(-\ln(\cos(x))\) est :

$$ \frac{d}{dx}\big(-\ln(\cos(x))\big)=\tan(x) $$

Calcul de dérivée - Exemple 6

Considérons la fonction \(2e^{\sqrt{x}}\). Nous cherchons :

$$ \frac{d}{dx}\left(2e^{\sqrt{x}}\right) $$

On met en facteur la constante 2 :

$$ 2\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{\sqrt{x}}\big) $$

La dérivée de \(e^{u(x)}\) est \(e^{u(x)}\cdot u'(x)\), avec \(u(x)=\sqrt{x}\).

On a donc :

$$ 2\cdot e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) $$

Or, \(\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\). En remplaçant :

$$ 2\cdot e^{\sqrt{x}}\cdot \tfrac{1}{2\sqrt{x}} $$

Après simplification :

$$ \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$

La dérivée de \(2e^{\sqrt{x}}\) est donc :

$$ \frac{d}{dx}\left(2e^{\sqrt{x}}\right)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$

Calcul de dérivée - Exemple 7

Nous voulons dériver la fonction \(-\ln(1+\cos^2(x))\) :

$$ \frac{d}{dx}\big(-\ln(1+\cos^2(x))\big) $$

D’après la règle du facteur constant, \((k\cdot f)' = k \cdot f'\). On met donc le signe négatif en facteur :

$$ -\frac{d}{dx}\,\ln(1+\cos^2(x)) $$

C’est une fonction composée \(f(u(x))\), avec \(f(u)=\ln(u)\) et \(u(x)=1+\cos^2(x)\).

On applique la règle de la chaîne : la dérivée du logarithme est \(\tfrac{1}{u}\), multipliée par la dérivée de \(u\) :

$$ -\frac{1}{1+\cos^2(x)} \cdot \frac{d}{dx}\big(1+\cos^2(x)\big) $$

Or, \(\frac{d}{dx}(1)=0\) et \(\frac{d}{dx}(\cos^2(x))=2\cos(x)\cdot(-\sin(x))\). Ainsi :

$$ -\frac{1}{1+\cos^2(x)}\cdot\big(-2\cos(x)\sin(x)\big) $$

Ce qui donne :

$$ \frac{2\cos(x)\sin(x)}{1+\cos^2(x)} $$

En utilisant l’identité trigonométrique \(2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x)\), on obtient :

$$ \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(x)} $$

La dérivée finale est donc :

$$ \frac{d}{dx}\big(-\ln(1+\cos^2(x))\big) = \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(x)} $$

Calcul de dérivée - Exemple 8

Nous cherchons à dériver la fonction \( \tfrac{1}{\cos(x)} \) :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$

Plusieurs méthodes sont possibles. En voici trois.

Méthode 1 : écriture avec exposant négatif

On réécrit :

$$ \frac{1}{\cos(x)} = \cos(x)^{-1} $$

En dérivant \(\cos(x)^{-1}\) par la règle de la chaîne :

$$ \frac{d}{dx}\cos(x)^{-1} = (-1)\cos(x)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}\cos(x) $$

Comme \(\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\), on obtient :

$$ \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$

Ce résultat peut aussi s’écrire :

$$ \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \tan(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)} $$

Donc :

$$ \frac{d}{dx}\big(\cos(x)^{-1}\big) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Méthode 2 : reconnaissance de la sécante

On remarque que \(\tfrac{1}{\cos(x)}=\sec(x)\). Or, la dérivée connue est :

$$ \frac{d}{dx}\sec(x) = \sec(x)\tan(x) $$

Donc :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{1}{\cos(x)}\cdot \tan(x) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Méthode 3 : application directe de la règle du quotient

On applique la règle du quotient à \(\tfrac{1}{\cos(x)}\) :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{0\cdot\cos(x) - 1\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} $$

$$ = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \tan(x)\cdot\sec(x) $$

Ce qui revient à écrire :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Quelle que soit la méthode choisie, on obtient toujours le même résultat :

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Cela montre la cohérence des différentes techniques de dérivation et la solidité des outils du calcul différentiel.