Dérivée d'une matrice

La dérivée d’une matrice, par rapport à une variable scalaire ou vectorielle, se calcule en dérivant chacun de ses éléments, exactement comme on le fait pour des fonctions scalaires.

On distingue principalement deux situations, illustrées par des exemples concrets :

Dérivée d'une matrice par rapport à une variable scalaire
Dérivée d'une matrice par rapport à un vecteur

Dérivée d'une matrice par rapport à une variable scalaire

Si $ A(t) $ est une matrice dont les éléments dépendent d’une variable scalaire $ t $, sa dérivée est une nouvelle matrice dont chaque entrée $ (i,j) $ est obtenue en dérivant l’élément correspondant $ A_{ij}(t) $ par rapport à $ t $.

Exemple

Considérons la matrice $ 2 \times 2 $ suivante :

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} t^2 & \sin(t) \\ e^t & t + 1 \end{bmatrix} $$

Ici, $ \mathbf{A}(t) $ est une fonction matricielle de la variable scalaire $ t $.

Pour en calculer la dérivée, il suffit de dériver séparément chaque élément :

$ \frac{d}{dt} (t^2) = 2t $
$ \frac{d}{dt} (\sin(t)) = \cos(t) $
$ \frac{d}{dt} (e^t) = e^t $
$ \frac{d}{dt} (t + 1) = 1 $

On obtient donc :

$$ \frac{d\mathbf{A}(t)}{dt} = \begin{bmatrix} 2t & \cos(t) \\ e^t & 1 \end{bmatrix} $$

Cette matrice représente la dérivée de $ \mathbf{A}(t) $ par rapport à $ t $.

Dérivée d'une matrice par rapport à un vecteur

Si $ A(\mathbf{x}) $ est une matrice dépendant d’un vecteur colonne $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $, sa dérivée se définit comme un nouvel objet (matrice ou tenseur) dont les composantes sont les dérivées partielles de chaque élément de $ A(\mathbf{x}) $ par rapport à chacune des composantes de $ \mathbf{x} $.

Le résultat se présente alors comme un tenseur regroupant l’ensemble des dérivées partielles de la matrice par rapport au vecteur.

Exemple

Soit la matrice $ \mathbf{B}(\mathbf{x}) $, définie en fonction du vecteur $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $ :

$$ \mathbf{B}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 x_2 \\ x_1 + x_2 & x_2^2 \end{bmatrix} $$

On dérive chaque élément de la matrice par rapport à chacune des variables $ x_1 $ et $ x_2 $.

Dérivées partielles par rapport à $ x_1 $ :

$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1^2) = 2x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 x_2) = x_2 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_2^2) = 0 $

On en déduit la matrice des dérivées partielles par rapport à $ x_1 $ :

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1} = \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Dérivées partielles par rapport à $ x_2 $ :

$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1^2) = 0 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 x_2) = x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_2^2) = 2x_2 $

On obtient alors :

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} = \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} $$

Ces deux matrices constituent le tenseur jacobien de la fonction matricielle $ \mathbf{B} $ :

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1}, \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

Dans ce cas précis, comme $ \mathbf{B} $ est une matrice $ 2 \times 2 $ et que $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 $, le jacobien est un tenseur tridimensionnel de taille $ 2 \times 2 \times 2 $.

Deuxième exemple

Considérons la fonction $ A(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} xy & x^2 \\ y^2 & xy \end{bmatrix} $, avec $ \mathbf{x} = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2 $.

Ses dérivées partielles sont :

Par rapport à $ x $ : $$ \frac{\partial A}{\partial x} = \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} $$
Par rapport à $ y $ : $$ \frac{\partial A}{\partial y} = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} $$

Ces matrices forment le jacobien de $ A $ par rapport au vecteur $ \mathbf{x} $ :

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial A}{\partial x} & \frac{\partial A}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

Ce résultat illustre la structure du jacobien pour une fonction matricielle dépendant d’un vecteur.