Exercice résolu avec l’algorithme de Gauss-Jordan
Considérons une matrice \( M \) de format \( 4 \times 4 \). Il s’agit de déterminer sa forme échelonnée par lignes en appliquant l’algorithme de Gauss-Jordan.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
Le premier pivot est déjà situé dans l’angle supérieur gauche.
On procède ensuite à l’annulation des éléments non nuls placés sous ce pivot, conformément à la règle de Gauss :
$$ R_i \; \longrightarrow \; R_i - \frac{q_j}{p_k} \, R_k $$
On commence par annuler l’élément \( q_j = 1 \).
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ [1] & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1-(1)\cdot 1 & 0-(1)\cdot 1 & 2-(1)\cdot 1 & 1-(1)\cdot 2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
On annule ensuite l’élément \( q_j = 2 \).
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ [2] & 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2-(2)\cdot 1 & 0-(2)\cdot 1 & 4-(2)\cdot 1 & 2-(2)\cdot 2 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \end{bmatrix} $$
On permute ensuite les lignes \( R_2 \) et \( R_3 \) :
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \end{bmatrix} $$
Puis on multiplie la deuxième ligne par \(-1\) :
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) & -1 \cdot (-1) \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \end{bmatrix} $$
On dispose ainsi d’un deuxième pivot dans la seconde colonne.
Il reste à annuler les éléments situés en dessous, à savoir \( q_j = 3 \) et \( q_j = -2 \).
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3-(3/1)\cdot 1 & -3-(3/1)\cdot(-1) & 3-(3/1)\cdot 1 \\ 0 & -2-(-2/1)\cdot 1 & 2-(-2/1)\cdot(-1) & -2-(-2/1)\cdot 1 \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
La matrice réduite ne comporte donc que deux pivots.
Remarque. Le nombre de pivots dans la forme échelonnée par lignes correspond exactement au rang de la matrice initiale \( M_{4,4} \). On en déduit que le rang de \( M_{4,4} \) est égal à 2.
