Théorème sur l’indépendance linéaire des vecteurs

Si un ensemble de vecteurs {v₁, v₂, ..., v_n} est linéairement indépendant, alors aucun de ces vecteurs ne peut être le vecteur nul : $$ \vec{v}_1 \ne \vec{0} \\ \vec{v}_2 \ne \vec{0} \\ \vdots \\ \vec{v}_n \ne \vec{0} $$

Démonstration

Soit {v₁, v₂, ..., v_n} un ensemble de n vecteurs supposés linéairement indépendants.

Raisonnons par l’absurde et supposons que l’un de ces vecteurs, noté v_k, soit en réalité le vecteur nul :

$$ \vec{v}_k = \vec{0} $$

Considérons alors une combinaison linéaire quelconque de ces vecteurs :

$$ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_k \vec{v}_k + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$

Attribuons la valeur zéro à tous les coefficients scalaires λ₁, λ₂, ..., λ_n, sauf λ_k, que l’on prend non nul (λ_k ≠ 0) :

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0, \quad \lambda_k \ne 0 $$

Comme v_k est le vecteur nul, la combinaison linéaire se réduit à :

$$ 0 \cdot \vec{v}_1 + 0 \cdot \vec{v}_2 + \dots + \lambda_k \vec{v}_k + \dots + 0 \cdot \vec{v}_n = \vec{0} $$

On obtient ainsi une combinaison linéaire non triviale (puisque λ_k ≠ 0) qui s’annule, c’est-à-dire égale au vecteur nul.

Cette situation contredit directement l’hypothèse d’indépendance linéaire.

Remarque. Dans un ensemble de vecteurs indépendants, la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est la combinaison triviale, c’est-à-dire celle où tous les coefficients scalaires sont nuls. Or, dans le raisonnement ci-dessus, nous avons construit explicitement une combinaison non triviale qui s’annule, ce qui prouve que l’ensemble ne peut être indépendant.

Il en résulte qu’aucun vecteur appartenant à un ensemble linéairement indépendant ne peut être le vecteur nul.

Et ainsi de suite.