Deuxième théorème sur l’indépendance linéaire des vecteurs
Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Si l’on considère un système de générateurs $$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \} $$ et un ensemble de vecteurs linéairement indépendants appartenant à V $$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$ alors on a nécessairement $$ p \le n $$
En d’autres termes, le nombre de vecteurs linéairement indépendants que peut contenir V ne dépasse jamais le nombre de vecteurs d’un système générateur de V.
Démonstration
Considérons un espace vectoriel réel V et un système de générateurs :
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \} $$
Ainsi qu’un ensemble de vecteurs linéairement indépendants dans V :
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$
Tout vecteur $\vec{w} \in V$ peut s’exprimer comme combinaison linéaire des générateurs $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \}$ :
$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$
Comme $\vec{w}_1$ est, par hypothèse, linéairement indépendant, au moins un coefficient $\lambda_i$ doit être non nul ; sinon, $\vec{w}_1$ coïnciderait avec le vecteur nul.
Supposons que le dernier coefficient $\lambda_n$ soit non nul :
$$ \lambda_n \ne 0 $$
On peut alors diviser les deux membres de l’égalité par $\lambda_n$ :
$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \lambda_n \vec{v}_n $$
$$ \frac{1}{\lambda_n} \vec{w}_1 = \frac{\lambda_1}{\lambda_n} \vec{v}_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_n} \vec{v}_2 + \dots + \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} + \vec{v}_n $$
En isolant $\vec{v}_n$ :
$$ \vec{v}_n = \frac{1}{\lambda_n} \vec{w}_1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_n} \vec{v}_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_n} \vec{v}_2 - \dots - \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} $$
Posons désormais : $1/\lambda_n = \alpha_1$, $\lambda_1/\lambda_n = \alpha_2$, $\lambda_2/\lambda_n = \alpha_3$, ..., $\lambda_{n-1}/\lambda_n = \alpha_n$ :
$$ \vec{v}_n = \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$
L’ensemble $\{ \vec{w}_1, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{n-1} \}$ reste donc générateur de V, avec le même cardinal que l’ensemble initial. En effet, en remplaçant $\vec{v}_n$ dans la combinaison linéaire d’un vecteur quelconque $\vec{v} \in V$, on obtient une écriture équivalente :
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$
Or, puisque :
$$ \vec{v}_n = \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$
il vient :
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n ( \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} ) $$
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \alpha_1 \vec{w}_1 - \lambda_n \alpha_2 \vec{v}_1 - \lambda_n \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \lambda_n \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$
En regroupant les termes :
$$ \vec{v} = ( \lambda_1 - \lambda_n \alpha_2 ) \vec{v}_1 + ( \lambda_2 - \lambda_n \alpha_3 ) \vec{v}_2 + \dots + ( \lambda_{n-1} - \lambda_n \alpha_n ) \vec{v}_{n-1} + ( \lambda_n \alpha_1 ) \vec{w}_1 $$
En posant : $\lambda_1 - \lambda_n \alpha_2 = \beta_1$, $\lambda_2 - \lambda_n \alpha_3 = \beta_2$, ..., $\lambda_{n-1} - \lambda_n \alpha_n = \beta_{n-1}$, $\lambda_n \alpha_1 = \beta_n$ :
$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \beta_n \vec{w}_1 $$
Nous avons donc remplacé $\vec{v}_n$ par $\vec{w}_1$, et l’ensemble $\{ \vec{w}_1, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{n-1} \}$ engendre toujours V.
On réitère alors le procédé : en supposant $\beta_{n-1} \ne 0$, on remplace $\vec{v}_{n-1}$ par $\vec{w}_2$.
On poursuit de la même manière, en substituant successivement $\vec{v}_{n-2}$ par $\vec{w}_3$, et ainsi de suite, jusqu’à remplacer $\vec{v}_1$ par $\vec{w}_n$.
Au terme de ce processus, on obtient un système générateur formé exclusivement des vecteurs $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_n \}$ :
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + \dots + \lambda_{n-1} \vec{w}_{n-1} + \lambda_n \vec{w}_n $$
Or, l’ensemble initial de vecteurs linéairement indépendants comportait p éléments :
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_p \} $$
Si p > n, il existerait alors des vecteurs $\vec{w}_{n+1}, \vec{w}_{n+2}, \dots, \vec{w}_p$ qui ne figureraient pas dans le système générateur :
$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n, \color{red}{ \vec{w}_{n+1} }, \color{red}{ \vec{w}_{n+2} }, \dots, \color{red}{ \vec{w}_p } \} $$
Dans un tel cas, $\vec{w}_{n+1}$ pourrait s’écrire comme combinaison linéaire de $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n \}$ :
$$ \vec{w}_{n+1} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + \dots + \lambda_n \vec{w}_n $$
Cela impliquerait que $\vec{w}_{n+1}$ est dépendant de $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n \}$.
Ce qui contredit clairement notre hypothèse de départ, à savoir que les vecteurs $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_p \}$ sont linéairement indépendants.
On doit donc conclure que le cas $p > n$ est impossible, et qu’il faut nécessairement :
$$ p \le n $$
En conclusion, le nombre de vecteurs linéairement indépendants d’un espace vectoriel V est toujours inférieur ou égal au nombre de vecteurs de tout système générateur de V.
Et ainsi de suite.
