Clases de Equivalencia Módulo ρ
Dado un conjunto X y una relación de equivalencia ρ, la clase de equivalencia de un elemento β es el conjunto [β] formado por todos los elementos x de X que están relacionados con β según ρ: $$ [\beta]_\rho = \{ x \in X \:\: | \:\: x\rho\beta \} $$
Al elemento a se le llama el representante de la clase.
Cada clase de equivalencia contiene al menos un elemento: su representante.
Ejemplo
Consideremos la relación de equivalencia ρ definida sobre el conjunto de los enteros ℤ, donde dos elementos a y b están relacionados si, y solo si, \( a^2 = b^2 \).
$$ [a] = \{ b \in X \:\: | \:\: a^2 = b^2 \} $$
Por ejemplo, una clase de equivalencia es:
$$ [a] = \{ +2, -2 \} $$
ya que tanto +2 como −2 tienen como cuadrado el número 4.
En general, bajo esta relación, cada clase [a] está formada por dos elementos:
$$ [a] = \{ +a, -a \} $$
con la excepción del caso a = 0, cuya clase contiene un único elemento:
$$ [0] = \{ 0 \} $$
Ejemplo concreto de clase de equivalencia
Consideremos el conjunto potencia de A = {1, 2, 3}:
$$ P(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\} \} $$
Los elementos de P(A) son todos los subconjuntos de A.
Definimos una relación de equivalencia ρ en P(A) de modo que dos subconjuntos están relacionados si tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo número de elementos.
La clase de equivalencia de un elemento a se define así:
$$ [a]_\rho = \{ x \in P(A) \ | \ x\rho a \} $$
En este contexto, las clases de equivalencia son las siguientes:
La clase de equivalencia de a = ∅ es el conjunto unitario que contiene solo al conjunto vacío:
$$ [\emptyset]_\rho = \{ \emptyset \} $$
Nota: Esto no significa que la clase esté vacía. Contiene exactamente un elemento - el conjunto vacío - , que pertenece a P(A). Como se mencionó antes, toda clase de equivalencia contiene al menos a su representante.
La clase de equivalencia de a = {1} incluye todos los subconjuntos unitarios de A:
$$ [{1}]_\rho = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \} $$
Del mismo modo, las clases de equivalencia de {2} y {3} son idénticas:
$$ [{2}]_\rho = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \} $$
$$ [{3}]_\rho = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \} $$
La clase de equivalencia de {1,2} contiene todos los subconjuntos de tamaño 2:
$$ [{1,2}]_\rho = \{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\} \} $$
Y lo mismo ocurre con las clases de {1,3} y {2,3}:
$$ [{1,3}]_\rho = \{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\} \} $$
$$ [{2,3}]_\rho = \{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\} \} $$
Finalmente, la clase de {1,2,3} contiene únicamente a sí misma:
$$ [{1,2,3}]_\rho = \{ \{1,2,3\} \} $$
Nota: Como vemos en este último caso, toda clase de equivalencia contiene al menos un elemento: su representante.
Propiedades de las clases de equivalencia
Sea A un conjunto y ρ una relación de equivalencia definida sobre A. Para cualesquiera elementos a y b de A, se cumplen las siguientes propiedades:
$$ [a] \ne \emptyset $$ $$ [a] = [b]_\rho \Leftrightarrow a\rho b $$ $$ [a] \ne [b]_\rho \Leftrightarrow [a] \cap [b] = \emptyset $$
Demostración
Primera propiedad
Ninguna clase de equivalencia es vacía.
$$ [a] \ne \emptyset $$
Esto se deduce directamente de la reflexividad de la relación: todo elemento \( a \in A \) está relacionado consigo mismo.
$$ \forall a \in A,\ (a\rho a) \Rightarrow [a] \ne \emptyset $$
Por lo tanto, toda clase de equivalencia contiene al menos un elemento: su representante.
Segunda propiedad
Dos clases de equivalencia son iguales si, y solo si, sus representantes están relacionados:
$$ [a] = [b]_\rho \Leftrightarrow a\rho b $$
Como se trata de una bicondicional, debemos demostrar ambas implicaciones.
A] Sentido directo (suficiencia)
Si \( [a] = [b] \), entonces, como \( a \in [a] \), también se tiene \( a \in [b] \). Por definición, eso implica \( a\rho b \).
B] Sentido inverso (necesidad)
Supongamos ahora que \( a\rho b \). Para demostrar que \( [a] = [b] \), basta probar la doble inclusión:
$$ [a] \subseteq [b] \quad \text{y} \quad [b] \subseteq [a] $$
Primera inclusión: Sea \( x \in [a] \), es decir, \( x\rho a \). Como \( a\rho b \), por transitividad se sigue que \( x\rho b \), y por tanto \( x \in [b] \).
Segunda inclusión: Sea \( x \in [b] \), es decir, \( x\rho b \). Como \( a\rho b \), entonces \( b\rho a \) por simetría. Aplicando de nuevo transitividad: \( x\rho a \), por lo que \( x \in [a] \).
Por lo tanto:
$$ [a] = [b] $$
Tercera propiedad
Dos clases de equivalencia distintas son disjuntas:
$$ [a] \ne [b] \Leftrightarrow [a] \cap [b] = \emptyset $$
Sentido directo: Supongamos que \( [a] \cap [b] \ne \emptyset \), es decir, que existe \( c \in [a] \cap [b] \). Entonces, \( c\rho a \) y \( c\rho b \), lo cual implica \( [a] = [c] = [b] \), contradiciendo la hipótesis inicial. Por tanto:
$$ [a] \ne [b] \Rightarrow [a] \cap [b] = \emptyset $$
Sentido inverso: Supongamos ahora que \( [a] = [b] \). Entonces:
$$ [a] \cap [b] = [a] \cap [a] = [a] \ne \emptyset $$
lo cual contradice la suposición de que \( [a] \cap [b] = \emptyset \). Por tanto:
$$ [a] \cap [b] = \emptyset \Rightarrow [a] \ne [b] $$
