Relaciones de Equivalencia

¿Qué son las relaciones de equivalencia?

Reflexividad: $$ \forall \ a \ \in A \:\: a\rho a $$
Simetría: $$ \forall \ a,b \ \in A \:\: a\rho b \Rightarrow b\rho a $$
Transitividad: $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a\rho b \land b\rho c \Rightarrow a\rho c $$

Cuando se verifica que aρb, se dice que los elementos a y b del conjunto son equivalentes.

$$ a\rho b $$

Un ejemplo clásico es la igualdad (=), que constituye una relación de equivalencia al satisfacer las tres propiedades anteriores:

Reflexividad: $$ \forall \ a \ \in A \ \Rightarrow \: a = a $$
Simetría: $$ \forall \ a,b \ \in A \ | \: a = b \Rightarrow b = a $$
Transitividad: $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a = b \land b = c \Rightarrow a = c $$

Relaciones de equivalencia vs. relaciones de orden: Tanto las relaciones de equivalencia como las relaciones de orden son reflexivas y transitivas. La diferencia fundamental radica en la tercera propiedad: las relaciones de equivalencia son simétricas, mientras que las de orden son antisimétricas.

Ejemplo práctico
Clases de Equivalencia

Ejemplo práctico

Consideremos el conjunto de las rectas del plano cartesiano y la relación R:

$$ R: \ \text{x es paralela a y} $$

Para verificar si R es una relación de equivalencia, analizamos cada una de sus propiedades:

Reflexividad: Toda recta es paralela a sí misma, ya que mantiene la misma dirección.
Simetría: Si la recta x es paralela a la recta y, entonces y también lo es con respecto a x.
Transitividad: Si x es paralela a y y y es paralela a z, entonces x también es paralela a z.

Dado que se cumplen las tres propiedades, R es una relación de equivalencia.

Ejemplo 2

Analicemos ahora el mismo conjunto de rectas, pero con otra relación:

$$ R: \ \text{x es perpendicular a y} $$

Evaluemos si esta relación cumple con los requisitos de una relación de equivalencia:

No reflexiva: Ninguna recta puede ser perpendicular a sí misma.

Por tanto, esta no es una relación de equivalencia.

Nota: El incumplimiento de una sola propiedad basta para descartar que se trate de una relación de equivalencia. En este caso, al fallar la reflexividad, no es necesario verificar las otras dos condiciones.

Otros ejemplos sencillos

La relación "x tiene la misma edad que y" es de equivalencia.
La relación "x vive en la misma casa que y" es de equivalencia.
La relación "x pesa lo mismo que y" es de equivalencia.
La relación "x tiene el mismo color que y" es de equivalencia.

Clases de Equivalencia

Toda relación de equivalencia induce de manera natural una partición del conjunto en clases de equivalencia: subconjuntos no vacíos, disjuntos entre sí, cuya unión es el conjunto completo.

Una partición consiste en dividir un conjunto en partes distintas y no solapadas, de modo que cada elemento pertenezca a una única clase.

Estos subconjuntos se denominan clases de equivalencia.

El conjunto de todas las clases se conoce como conjunto cociente.

Ejemplo: Sea el conjunto finito de enteros $$ X = \{ -5, -2, -1, 3, 4 \} $$ y definamos la relación "x tiene el mismo signo que y". Esta relación es de equivalencia, ya que cumple reflexividad, simetría y transitividad. El conjunto X queda entonces dividido en dos clases de equivalencia: $$ C_1 = \{ 3, 4 \} $$ $$ C_2 = \{ -5, -2, -1 \} $$ Estas clases son disjuntas y no vacías. Su unión cubre la totalidad del conjunto: $$ C_1 \cup C_2 = X $$ Por lo tanto, el conjunto cociente está formado por estas dos clases: $$ Q = \{ C_1, C_2 \} = \{ \{3, 4\}, \{-5, -2, -1\} \} $$ Nótese que cada elemento del conjunto cociente Q es en sí mismo un conjunto.

Un mismo conjunto puede admitir múltiples particiones distintas.

Y cada partición corresponde a una relación de equivalencia diferente.

Por ejemplo, un conjunto de objetos puede clasificarse según el color, el peso, el precio, entre otros criterios.

Y así sucesivamente.