Conjuntos Cocientes y Particiones
El conjunto cociente A/ρ está formado por todas las clases de equivalencia del conjunto A definidas por la relación ρ.
En otras palabras, todos los elementos de A que pertenecen a una misma clase de equivalencia [a] se representan conjuntamente mediante el único elemento [a] en A/ρ.
Estas clases de equivalencia constituyen lo que se conoce como una partición del conjunto A.
¿Qué es una partición? Una partición es una colección de subconjuntos no vacíos (llamados partes) que cumplen las siguientes condiciones:
[1] La unión de todas las partes es igual al conjunto original: $$ \bigcup A_n = A $$
[2] Las partes son disjuntas dos a dos: $$ A_a \cap A_b = \emptyset \quad \text{si } a \ne b $$
Ejemplos
Ejemplo 1
Sea A = {1, 2, 3, 4}
Sea F una colección de subconjuntos de A:
$$ F = \{ \{1\}, \{3,4\} \} $$
F no es una partición, ya que solo satisface dos de las tres condiciones necesarias:
- No está vacía
- Sus subconjuntos son disjuntos
Sin embargo, la unión de estos subconjuntos no cubre todo el conjunto A: el elemento 2 queda fuera.
Ejemplo 2
Consideremos nuevamente A = {1, 2, 3, 4}
Y tomemos F como:
$$ F = \{ \{1\}, \{2\}, \{3,4\} \} $$
Esta vez, F sí es una partición válida, ya que cumple las tres condiciones establecidas.
A partir de esta idea, enunciamos el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia:
- Dada una relación de equivalencia ρ sobre un conjunto A, las clases de equivalencia (es decir, el conjunto cociente A/ρ) determinan una partición de A.
- Recíprocamente, toda partición de A define una relación de equivalencia ρ tal que cada subconjunto de la partición corresponde a una clase de equivalencia distinta.
Demostración
Una relación de equivalencia siempre relaciona cada elemento consigo mismo: aρa.
Por tanto, toda clase de equivalencia [a] contiene al menos el elemento a.
Esto se cumple para cualquier elemento x = b, c, d, … de A.
Como consecuencia, las clases de equivalencia son necesariamente disjuntas o idénticas.
Si un elemento x pertenece a la vez a [a] y a [b], entonces está relacionado con ambos:
$$ x \rho a \\ x \rho b $$
Por simetría y transitividad, se concluye que a está relacionado con b:
$$ a \rho x \land x \rho b \Rightarrow a \rho b $$
Lo cual implica que las clases son iguales:
$$ a \rho b \Rightarrow [a] = [b] $$
Así, si dos clases tienen algún elemento en común, deben coincidir por completo: [a] ⋂ [b] ≠ ∅ ⇒ [a] = [b]
- Si [a] y [b] son disjuntas, entonces [a] ⋂ [b] = ∅ ⇒ [a] ≠ [b]
- Si no lo son, entonces [a] ⋂ [b] ≠ ∅ ⇒ [a] = [b]
Esto demuestra que las clases de equivalencia definidas por ρ sobre A satisfacen todas las condiciones que definen una partición:
- Cada clase es no vacía: por definición, contiene al menos a su representante.
- La unión de todas las clases en A/ρ es igual a A: al reunir todos los elementos de todas las clases se recupera el conjunto original.
- Cualquier par de clases distintas es disjunto: si [a] ⋂ [b] ≠ ∅, entonces [a] y [b] son la misma clase.
Ejemplo
Sea A = {1, 2, 3, 4}
Sea F = { {1}, {2}, {3,4} }
Definimos una relación de equivalencia ρ sobre A tal que:
$$ a \rho b $$
siempre que a y b pertenezcan al mismo subconjunto de F:
$$ \forall a, b \in A,\quad a \rho b \Leftrightarrow \exists X \in F \text{ tal que } \{a,b\} \subseteq X $$
Los pares que satisfacen esta relación son:
$$ \rho_F = \{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (3,4), (4,3) \} $$
El conjunto cociente A/ρ está compuesto por las siguientes clases de equivalencia:
$$ A/\rho = \{ [1], [2], [3], [4] \} $$
Y cada clase contiene los elementos relacionados con su representante:
$$ [1] = \{1\} \\ [2] = \{2\} \\ [3] = \{3, 4\} \\ [4] = \{3, 4\} $$
Nota: El elemento 1 está relacionado solo consigo mismo. Lo mismo ocurre con el 2. El 3 está relacionado con el 4 y viceversa.
Si expresamos ahora el conjunto cociente como conjunto de subconjuntos:
$$ A/\rho = \{ \{1\}, \{2\}, \{3,4\} \} $$
Este conjunto cociente A/ρ coincide exactamente con la partición F.
Y así sucesivamente.
