Las coordenadas polares como herramienta para el análisis de límites de funciones de dos variables

Para calcular el límite de una función de dos variables cuando el punto se aproxima al origen (0,0), es decir, \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), \] resulta a menudo útil pasar de coordenadas cartesianas \((x, y)\) a coordenadas polares \((\rho, \theta)\), definidas por \[ x = \rho \cos\theta, \quad y = \rho \sin\theta. \]

La idea es bastante intuitiva: si la función puede reescribirse como

\[ f(x, y) = g(\rho, \theta), \]

y el límite cuando \( \rho \to 0 \) existe y no depende de \( \theta \), entonces el límite de la función original existe y coincide con ese valor:

\[ \lim_{\rho\to0^{+}} g(\rho,\theta)=L\qquad\text{para todo }\theta. \]

Aquí, \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) representa la distancia al origen, mientras que \(\theta\) indica la dirección de aproximación.

Importante. Este procedimiento solo es aplicable cuando el punto considerado es el origen, es decir, \( \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \). Además, no siempre es concluyente: el valor \( L \) ha de ser independiente de \( \theta \) para que el límite exista.

¿Es posible aplicar este método a puntos distintos del origen?

Sí. Si el límite se toma en un punto \((x_0, y_0) \neq (0,0)\), basta con trasladar el sistema de coordenadas de forma que \((x_0, y_0)\) se convierta en el nuevo origen. El límite puede estudiarse entonces en polares respecto al sistema desplazado.

En tal caso, se definen las coordenadas polares trasladadas de la siguiente manera: \[ x = x_0 + \rho \cos\theta, \quad y = y_0 + \rho \sin\theta. \]

A este procedimiento se le conoce como método de coordenadas polares desplazadas.

Ejemplo ilustrativo

Consideremos la función:

\[ f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \]

En coordenadas polares, sustituyendo \( x = \rho \cos\theta \), \( y = \rho \sin\theta \):

\[ f(x, y) = \frac{(\rho \cos\theta)^2 (\rho \sin\theta)}{(\rho \cos\theta)^2 + (\rho \sin\theta)^2} \]

\[ = \frac{\rho^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \]

\[ = \rho \cos^2\theta \sin\theta \]

Como \(\cos^2\theta \sin\theta\) está acotado para todo \(\theta\) y \(\rho \to 0\), se concluye que la expresión completa tiende a 0. En consecuencia:

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0 \]

El límite existe y no depende de la dirección, por lo que el método resulta válido en este caso.

Ejemplo 2

Consideremos ahora:

\[ f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \]

En polares obtenemos:

\[ f(x, y) = \frac{(\rho \cos\theta)(\rho \sin\theta)^2}{(\rho \cos\theta)^2 + (\rho \sin\theta)^4} \]

\[ = \frac{\rho^3 \cos\theta \sin^2\theta}{\rho^2 \cos^2\theta + \rho^4 \sin^4\theta} \]

\[ = \rho \cdot \frac{\cos\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \rho^2 \sin^4\theta} \]

Cuando \(\rho \to 0\), el numerador tiende a 0. Sin embargo, el denominador se aproxima a \(\cos^2\theta\), que puede anularse si \( \cos\theta \to 0 \). Esto provoca que el valor dependa de la dirección de aproximación.

Por tanto, el límite depende de \( \theta \) y, en consecuencia, el límite en dos variables no existe.

De hecho, si tomamos la curva \(x = y^2\):

\[ f(y^2, y) = \frac{y^2 \cdot y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2} \]

Esto da un valor distinto a lo largo de una trayectoria curva, lo que implica:

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \text{no existe} \]

Por consiguiente, el uso de coordenadas polares por sí solo no garantiza la existencia del límite: hay que considerar también trayectorias no lineales.

Nota. La limitación no está en las coordenadas polares en sí, sino en restringirse a trayectorias con \(\theta\) constante. En realidad, las polares permiten trayectorias curvas mediante \(\theta = \theta(\rho)\). El criterio correcto es que \(g(\rho,\theta)\) debe converger al mismo valor para toda función \(\theta(\rho)\) cuando \(\rho \to 0^+\).

En otras palabras, el límite existe si y solo si \(g(\rho,\theta)\) converge uniformemente en \(\theta\).

Ejemplo 3

Calculemos un límite en un punto distinto del origen:

\[ f(x, y) = xy^2 \]

Queremos estudiar su comportamiento cuando \((x,y) \to (1, 2)\):

\[ \lim_{(x, y) \to (1, 2)} xy^2 \]

Como el punto no es el origen, aplicamos el método de coordenadas polares desplazadas.

Trasladamos el origen a \((1, 2)\):

\[ x = 1 + \rho \cos\theta, \quad y = 2 + \rho \sin\theta \]

Sustituyendo en la función obtenemos:

\[ f(x, y) = (1 + \rho \cos\theta)(2 + \rho \sin\theta)^2 \]

Expandiendo el cuadrado y simplificando:

\[ = (1 + \rho \cos\theta)(4 + 4\rho \sin\theta + \rho^2 \sin^2\theta) \]

\[ = 4 + 4\rho(\cos\theta + \sin\theta) + \text{términos de orden } \rho^2 \text{ y superiores} \]

Cuando \(\rho \to 0\), los términos de orden superior se anulan y resulta:

\[ \lim_{\rho \to 0} f(x, y) = 4 \]

El límite es finito e independiente de la dirección, lo que confirma su existencia.

Nota. Este ejemplo muestra cómo el método de coordenadas polares puede aplicarse también a puntos arbitrarios del plano mediante un simple traslado del sistema de referencia.

Otros ejemplos pueden desarrollarse siguiendo la misma idea.