Identificación del antitriplete mediante el tensor de Levi-Civita
Un par antisimétrico de dos quarks se transforma como el antiquark asociado al sabor que falta. \[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \] \[ us - su \longleftrightarrow \bar d \] \[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \] En estas expresiones, $ u $, $ d $ y $ s $ representan los quarks up, down y strange, respectivamente, mientras que $ \bar{u} $, $ \bar{d} $ y $ \bar{s} $ representan los antiquarks correspondientes.
Esta relación no es una simple analogía, sino una consecuencia directa de la estructura interna de la simetría de sabor SU(3).
En particular, al contraer dos campos de quarks con el tensor de Levi-Civita completamente antisimétrico \( \varepsilon_{ijk} \), se obtiene un objeto que transforma exactamente como un antiquark:
\[ \boxed{ \varepsilon_{ijk}\, q^j q^k = \bar q_i } \]
Aquí \( q^j \) y \( q^k \) son campos de quarks que transforman según la representación fundamental de SU(3).
Los índices \( i,j,k \) pueden tomar los valores \(1,2,3 \), o, de manera equivalente, las etiquetas de sabor \(u,d,s \) (up, down, strange).
El tensor \( \varepsilon_{ijk} \), completamente antisimétrico, satisface tres propiedades esenciales:
- \( \varepsilon_{ijk} = 0 \) cuando dos índices coinciden
- \( \varepsilon_{ijk} = +1 \) para permutaciones pares de \( (u,d,s) \)
- \( \varepsilon_{ijk} = -1 \) para permutaciones impares de \( (u,d,s) \)
Por convención estándar se fija:
\[ \varepsilon_{uds} = +1 \]
Por ejemplo, partiendo de \( \varepsilon_{uds} = +1 \), al intercambiar \( u \) y \( d \) se obtiene \( \varepsilon_{dus} = -1 \), ya que la transformación $ (uds) \to (dus) $ corresponde a una única transposición, es decir, a una permutación impar. En cambio, si dos índices coinciden, como en \( \varepsilon_{uus} \), el tensor se anula: \[ \varepsilon_{uus} = 0 \]
Un ejemplo concreto
En la simetría de sabor SU(3), los sabores de los quarks forman la representación fundamental:
\[ 3 = \{ u, d, s \} \]
Al combinar dos quarks, el espacio de estados resultante viene dado por el producto tensorial:
\[ 3 \otimes 3 \]
Este producto genera $ 3 \times 3 = 9 $ estados base posibles:
$$ uu, ud, us, du, dd, ds, su, sd, ss $$
Algunos de estos estados son simétricos, es decir, permanecen invariantes bajo el intercambio de los dos quarks. Otros, en cambio, cambian de signo o se transforman en un estado distinto.
- Los estados $ uu, dd, ss $ contienen quarks idénticos. El intercambio no altera el estado, por lo que son simétricos.
- Los estados $ ud, us, du, ds, su, sd $ contienen quarks distintos. Al intercambiar los quarks, el estado cambia, por ejemplo $ ud \to du $. Considerados individualmente, no son ni simétricos ni antisimétricos.
Nota. En el estado $ uu $, el intercambio de quarks siempre devuelve $ uu $, por lo que el estado es simétrico: $$ uu \xrightarrow{\text{exchange}} uu \quad \text{(simétrico)} $$ En cambio, en el estado $ ud $ el intercambio produce $ du $, que es un estado base distinto. Por ello, $ ud $ no posee una simetría definida: $$ ud \xrightarrow{\text{exchange}} du $$
Hasta aquí se han identificado tres estados claramente simétricos. Dado que existen nueve estados en total, los seis restantes deben organizarse mediante combinaciones lineales apropiadas.
La simetría, en este contexto, no es una propiedad de los estados base aislados, sino del subespacio que generan ciertas combinaciones de ellos.
Ahora bien, no cualquier combinación lineal sirve.
Por ejemplo, expresiones como $ ud + us $, $ ud - us $ o $ du + su $ no son invariantes bajo el intercambio de quarks y, por tanto, no son ni simétricas ni antisimétricas. De hecho: $$ ud + us \xrightarrow{\text{exchange}} du + su $$ lo que difiere claramente de la combinación inicial.
Existen, sin embargo, exactamente tres combinaciones simétricas:
\[ ud+du \xrightarrow{\text{exchange}} du+ud = ud+du \]
\[ us+su \xrightarrow{\text{exchange}} su+us = us+su \]
\[ ds+sd \xrightarrow{\text{exchange}} sd+ds = ds+sd \]
Y también tres combinaciones antisimétricas, que conservan su forma salvo por un cambio de signo:
\[ ud-du \xrightarrow{\text{exchange}} du-ud = - (ud - du) \]
\[ us-su \xrightarrow{\text{exchange}} su-us = - (us - su) \]
\[ ds-sd \xrightarrow{\text{exchange}} sd-ds = - (ds - sd) \]
En conjunto, el producto tensorial se descompone como:
\[ 3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3} \]
La representación \( 6 \) corresponde a los estados simétricos, mientras que \( \bar{3} \) recoge los tres estados antisimétricos.
Centremos ahora la atención en estos últimos.
La regla estructural presentada al inicio nos dice que cada par antisimétrico de quarks se transforma como el antiquark del sabor que no aparece en la pareja:
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \]
\[ us - su \longleftrightarrow \bar d \]
\[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
Nota. En la combinación \( ud - du \) aparecen los quarks \( u \) y \( d \), pero no el quark \( s \). Por ello, esta pareja se transforma como el antiquark strange \( \bar s \). El mismo razonamiento se aplica a los otros casos.
Esta identificación puede demostrarse de manera explícita. Consideremos de nuevo la combinación:
\[ ud - du \]
La relación estructural se expresa mediante la contracción:
\[ \bar q_i = \varepsilon_{ijk} q^j q^k \]
En este caso intervienen los sabores $ u $ y $ d $, por lo que tomamos \( j=u \) y \( k=d \):
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud} \ q^u q^d+\varepsilon_{idu} \ q^d q^u \]
Ambos términos aparecen porque la contracción incluye simultáneamente las contribuciones $ ud $ y $ du $.
Dado que el tensor de Levi-Civita es antisimétrico, se cumple:
\[ \varepsilon_{idu}=-\varepsilon_{iud} \]
Al sustituir se obtiene:
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud} \ (q^u q^d-q^d q^u) \]
o, de forma compacta:
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud}\,(ud-du) \]
La contracción con \( \varepsilon \) selecciona automáticamente la combinación antisimétrica.
Solo queda determinar el valor del índice $ i $. En SU(3) se tiene:
- \( i = u \ \to \ \varepsilon_{uud}=0 \)
- \( i = d \ \to \ \varepsilon_{dud}=0 \)
- \( i = s \ \to \ \varepsilon_{sud}\neq 0 \)
Por tanto, necesariamente:
\[ i=s \]
Y se obtiene:
\[ \bar q_s=\varepsilon_{sud} \ (ud-du) \]
Como $ \varepsilon_{uds} = +1 $ y la permutación $ (uds) \to (sud) $ es un 3-ciclo, es decir, una permutación par, resulta:
\[ \varepsilon_{sud} = +1 \]
Finalmente:
\[ \bar q_s= (ud-du) \]
Dado que $ \bar q_s $ es la componente $ s $ del antitriplete, se identifica con el antiquark strange:
\[ \bar s \longleftrightarrow (ud-du) \]
Esto muestra de forma clara que la combinación antisimétrica $ ud-du $ se transforma como un antiquark $ \bar s $.
Nota. El signo global depende de la convención elegida para \( \varepsilon_{uds} \) y no tiene consecuencias físicas. Dos estados que difieren solo por un factor global distinto de cero, en particular \( \pm 1 \), representan el mismo estado físico.
El mismo argumento se aplica a las combinaciones $ us - su $ y $ ds - sd $.
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \] \[ us - su \longleftrightarrow \bar d \] \[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
En conclusión, la parte antisimétrica del producto tensorial de dos quarks realiza la representación \( \bar 3 = \{ \bar u, \bar d, \bar s \} \) de SU(3).
Cada par antisimétrico de dos quarks se transforma, por tanto, como el antiquark del sabor ausente.
Y así sucesivamente.
