Isospín y la simetría SU(2) de los quarks up y down

Se habla de simetría entre los quarks up (u) y down (d) porque, dentro de la interacción fuerte, tienen masas prácticamente iguales, se acoplan de la misma manera y al intercambiarlos la teoría no cambia. En términos simples, sustituir un quark up por uno down no altera las reglas de la interacción fuerte.

Para describir esta invariancia de forma más precisa, la física introduce el concepto de isospín.

Aunque su nombre pueda sugerir lo contrario, el isospín no es un espín físico. Sin embargo, ambos comparten la misma álgebra matemática, la del grupo $ SU(2) $.

• El espín describe cómo cambia una partícula cuando se la rota en el espacio real.
• El isospín actúa en un espacio interno que no tiene una interpretación geométrica. Allí, los quarks up y down forman un vector de dos componentes y una rotación en ese espacio mezcla sus estados sin que ello implique un movimiento físico.

Esta coincidencia algebraica hace que espín e isospín compartan estructura formal, aunque cada uno describa un fenómeno físico distinto.

Como el isospín no opera en el espacio ordinario, se clasifica como una simetría interna.

Nota. El isospín permite entender de manera compacta varios hechos experimentales: por qué partículas con distintas cargas pueden tener masas casi idénticas, por qué ciertos procesos fuertes ocurren con probabilidades similares y por qué algunos decaimientos están prohibidos si vulneran la simetría de isospín. Todo esto surge de la estructura simétrica profunda de la interacción fuerte.

Para caracterizar el isospín no se usan coordenadas espaciales como $ x, y, z $, sino componentes abstractas $ I_1 $, $ I_2 $, $ I_3 $.

Un estado se describe con dos números cuánticos:

• $ I $, el isospín total, que fija el tamaño del multiplete.
• $ I_3 $, la tercera componente, que identifica el miembro concreto del multiplete.

Si la interacción fuerte respeta la simetría $ SU(2) $ del espacio de isospín, el teorema de Noether exige que el isospín se conserve en todos los procesos fuertes.

Nota. La situación es muy similar a la conservación del momento angular en sistemas que respetan la simetría rotacional del espacio físico.

La simetría $ SU(2) $ organiza las partículas en multipletes con isospín bien definido:

• dobletes con $ I = \frac{1}{2} $
• tripletes con $ I = 1 $
• cuartetos con $ I = \frac{3}{2} $

Cada multiplete contiene un número de estados determinado por el valor del isospín total.

El isospín total \( I \) puede determinarse contando los valores que toma \( I_3 \). Puesto que \( I_3 \) recorre todos los valores entre \( -I \) y \( +I \) en pasos enteros, un multiplete con isospín \( I \) contiene \( 2I + 1 \) estados.

Esta organización es una consecuencia directa de la simetría SU(2).

El origen del isospín

El isospín fue introducido por Werner Heisenberg en 1932 a partir de una observación que en su momento resultó sorprendente: el protón y el neutrón, aunque poseen cargas distintas, tienen masas prácticamente iguales y reaccionan frente a la interacción fuerte de una manera casi idéntica.

Para explicar esta similitud profunda, Heisenberg propuso un nuevo número cuántico basado en la misma estructura matemática del espín, pero aplicado a un espacio interno del que no percibimos nada en el mundo cotidiano. A este número lo llamó espín isotópico, que pronto adoptó la forma más breve y utilizada hoy en día: isospín.

En esta visión, protón y neutrón no son partículas diferentes, sino dos estados del mismo objeto fundamental: el nucleón \( N \).

$$ N = \frac{\alpha}{\beta} $$

Sus dos estados básicos se representan así:

$$ p = \frac{1}{0} $$

$$ n = \frac{0}{1} $$

El nucleón forma por tanto un sistema de dos niveles con isospín total \( I = \tfrac12 \):

$$ I = \frac{1}{2} $$

La tercera componente \( I_3 \) permite distinguirlos sin ambigüedades:

$$ p = \left| \tfrac12, +\tfrac12 \right\rangle \qquad n = \left| \tfrac12, -\tfrac12 \right\rangle $$

Esta idea unificadora recuerda inmediatamente al caso del espín: una partícula con espín un medio también posee dos proyecciones independientes. De modo similar, protones y neutrones aparecen como proyecciones distintas del nucleón. Una rotación de 180° en el espacio de isospín convierte uno en el otro.

Este principio se generaliza de manera natural a los sabores más ligeros de quark.

Los quarks up (u) y down (d) forman un doblete de isospín totalmente paralelo al de los nucleones:

$$ u = \left| \tfrac12, +\tfrac12 \right\rangle \qquad d = \left| \tfrac12, -\tfrac12 \right\rangle $$

Los demás sabores de quark (s, c, b, t) no participan en esta simetría y poseen isospín cero, pues su masa es demasiado grande para que la simetría aproximada \( SU(2) \) permanezca válida.

El sistema de dos nucleones

El isospín no es únicamente una etiqueta clasificatoria. También determina qué combinaciones de estados son físicamente coherentes.

Como protones y neutrones tienen isospín \( I = \tfrac12 \), el sistema de dos nucleones se describe mediante la suma de momentos angulares:

$$ \tfrac12 \otimes \tfrac12 = 1 \oplus 0 $$

Esto implica que un par de nucleones puede tener isospín total igual a 1 (triplete) o 0 (singlete). Los estados correspondientes son:

• Triplete simétrico, \( I = 1 \): $$ |1,1\rangle = |pp\rangle \\[4pt] |1,0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|pn\rangle + |np\rangle) \\[4pt] |1,-1\rangle = |nn\rangle $$
• Singlete antisimétrico, \( I = 0 \): $$ |0,0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|pn\rangle - |np\rangle) $$

Estos cuatro estados representan todas las configuraciones posibles en términos de isospín.

¿Cuál de ellos encontramos realmente en la naturaleza?

El único estado ligado de dos nucleones que existe es el deuterón, formado por un protón y un neutrón. No existen estados ligados pp ni nn.

Esto descarta que el deuterón pertenezca al triplete \( I = 1 \). Si lo hiciera, la simetría exigiría que también existieran estados ligados pp y nn. La única opción compatible con los datos experimentales es que el deuterón sea un estado del singlete \( I = 0 \).

Cómo el doblete (u, d) genera todos los multipletes de isospín

El doblete de quarks ligeros

$$ I = \frac12 $$

actúa como representación fundamental a partir de la cual se construyen todos los multipletes de isospín en los hadrones formados por quarks u y d.

1] Mesones (q\bar q)

El producto tensorial de dos representaciones \( I = \tfrac12 \) produce:

$$ \tfrac12 \otimes \tfrac12 = 1 \oplus 0 $$

Por tanto, los mesones compuestos de \(u\bar u\) y \(d\bar d\) solo pueden formar:

• un triplete con \( I = 1 \),
• un singlete con \( I = 0 \).

Ejemplo 1. Los piones constituyen un triplete de isospín: $$ \pi^+ = |1,+1\rangle,\quad \pi^0 = |1,0\rangle,\quad \pi^- = |1,-1\rangle $$

Ejemplo 2. El único singlete formado por combinaciones de \(u\bar u\) y \(d\bar d\) es la superposición antisimétrica, asociada al estado \( \eta_0 \) del sector ligero.

2] Bariones (qqq)

La estructura de isospín de los bariones formados por tres quarks ligeros se obtiene analizando el producto:

$$ \tfrac12 \otimes \tfrac12 \otimes \tfrac12 $$

Tras aplicar las reglas de descomposición de \( SU(2) \), se obtiene:

$$ \tfrac32 \oplus \tfrac12 \oplus \tfrac12 $$

Lo que significa que existen exactamente:

• un cuarteto con isospín \( I = \tfrac32 \),
• dos dobletes con isospín \( I = \tfrac12 \).

Ejemplo 1. Los nucleones forman el doblete \( I = \tfrac12 \): $$ p = uud = | \tfrac12, +\tfrac12 \rangle,\quad n = udd = | \tfrac12, -\tfrac12 \rangle $$

Ejemplo 2. Los bariones \( \Delta \) constituyen el cuarteto \( I = \tfrac32 \): $$ \Delta^{++} = uuu = | \tfrac32, +\tfrac32 \rangle $$ $$ \Delta^{+} = uud = | \tfrac32, +\tfrac12 \rangle $$ $$ \Delta^{0} = udd = | \tfrac32, -\tfrac12 \rangle $$ $$ \Delta^{-} = ddd = | \tfrac32, -\tfrac32 \rangle $$

La razón profunda detrás de esta organización es simple: si QCD trata a los quarks u y d como casi idénticos, entonces todos los hadrones compuestos únicamente por estos quarks deben ajustarse a las representaciones irreducibles del grupo \( SU(2) \). Es la estructura matemática la que dicta cuántos estados existen y cómo deben agruparse.

Un ejemplo práctico

Los bariones \( \Delta \) constituyen una de las familias más ilustrativas para entender cómo funciona el isospín. Existen en cuatro estados de carga bien definidos: \( \Delta^{++}, \Delta^{+}, \Delta^{0}, \Delta^{-} \). Esta simple observación ya anticipa que forman un conjunto estructurado.

$$ 2I + 1 = 4 $$

De aquí se deduce que su isospín total es

$$ I = \frac{4 - 1}{2} = \tfrac32. $$

En otras palabras, los \( \Delta \) forman un cuarteto de isospín, compuesto por cuatro estados que se diferencian únicamente en el valor de la tercera componente:

$$ I_3 = +\tfrac32,\ +\tfrac12,\ -\tfrac12,\ -\tfrac32. $$

• \( \Delta^{++} \) con \( I_3 = +\tfrac32 \)
• \( \Delta^{+} \) con \( I_3 = +\tfrac12 \)
• \( \Delta^{0} \) con \( I_3 = -\tfrac12 \)
• \( \Delta^{-} \) con \( I_3 = -\tfrac32 \)

En notación de kets, que resume la información cuántica de cada estado:

• \( \Delta^{++} = \left| \tfrac32, +\tfrac32 \right\rangle \)
• \( \Delta^{+} = \left| \tfrac32, +\tfrac12 \right\rangle \)
• \( \Delta^{0} = \left| \tfrac32, -\tfrac12 \right\rangle \)
• \( \Delta^{-} = \left| \tfrac32, -\tfrac32 \right\rangle \)

Su composición en quarks sigue un patrón igualmente claro:

• \( \Delta^{++} = uuu \)
• \( \Delta^{+} = uud \)
• \( \Delta^{0} = udd \)
• \( \Delta^{-} = ddd \)

Ejemplo. El caso del \( \Delta^{++} \) es especialmente instructivo. Al situarse en la cima del multiplete con \( I = \tfrac32 \) y \( I_3 = +\tfrac32 \), su valor de \( I_3 \) debe ser la suma de las contribuciones de sus tres quarks. Como cada quark up aporta \( +\tfrac12 \), la única configuración posible es $$ uuu. $$ Sin embargo, esta composición no fija el isospín total. El valor \( I = \tfrac32 \) está determinado por la condición de que el estado pertenezca a la representación completamente simétrica de \( SU(2) \) en el espacio de sabores. La estructura en quarks simplemente explica por qué este estado ocupa la parte superior del cuarteto.

Todo esto procede del producto tensorial fundamental:

$$ \tfrac12 \otimes \tfrac12 \otimes \tfrac12 $$

cuyo resultado es

$$ \tfrac32 \oplus \tfrac12 \oplus \tfrac12. $$

La representación simétrica, con \( I = \tfrac32 \), es la que contiene los cuatro estados observados experimentalmente. Esta organización es una manifestación directa de la simetría \( SU(2) \) aplicada a los quarks up y down.

Por qué intercambiar quarks up y down no cambia la interacción fuerte

Para comprender la simetría de isospín desde su base, conviene empezar con el doblete más simple posible:

\[ \begin{pmatrix} u \\ d \end{pmatrix} \]

Este doblete se transforma bajo una rotación interna \( SU(2) \) como:

\[ \begin{pmatrix} u' \\ d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ d \end{pmatrix} \]

La transformación mezcla ambos sabores de quark:

• $ u' = \cos\theta\, u + \sin\theta\, d $
• $ d' = -\sin\theta\, u + \cos\theta\, d $

La clave es que la cromodinámica cuántica (QCD) es completamente invariante bajo esta rotación. Los campos transformados interactúan exactamente igual que los originales. La interacción fuerte no detecta este cambio.

Por ello, el isospín se considera una simetría interna: describe rotaciones en un espacio abstracto que no tienen efecto alguno sobre las fuerzas fundamentales involucradas. La física permanece idéntica.

Como consecuencia, los hadrones construidos a partir de $ u' $ y $ d' $ son indistinguibles, en términos de interacción fuerte, de aquellos construidos con $ u $ y $ d $. Los dos quarks no son más que dos estados de un mismo grado de libertad interno.

Un ejemplo muy revelador es el de protones y neutrones. El protón ($ uud $) y el neutrón ($ udd $) se comportan como un doblete de isospín. Si aplicamos la rotación \[ \begin{pmatrix} p' \\ n' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ n \end{pmatrix} \] la QCD sigue teniendo exactamente la misma forma. La interacción fuerte no distingue entre ambos nucleones.

Una ilustración clara del mecanismo

Podemos hacer más explícita esta estructura combinando protón y neutrón en un único objeto matemático:

$$ N = \begin{pmatrix} p \\ n \end{pmatrix} $$

Este doblete representa al nucleón en sus dos estados de isospín. Corresponde a la representación bidimensional de \( SU(2) \) con \( I = \tfrac12 \).

Una rotación en este espacio interno se describe mediante la matriz

\[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

que satisface las condiciones de un elemento de \( SU(2) \):

\[ R^\dagger R = \mathbb{1}, \quad \det R = 1. \]

Al actuar sobre el doblete:

\[ \begin{pmatrix} p' \\ n' \end{pmatrix} = R(\theta)\, \begin{pmatrix} p \\ n \end{pmatrix} \]

obtenemos:

\[ \begin{cases} p' = p\,\cos\theta + n\,\sin\theta \\[4pt] n' = -p\,\sin\theta + n\,\cos\theta \end{cases} \]

Si escogemos \( \theta = \frac{\pi}{2} \), la rotación corresponde a un intercambio:

\[ \begin{cases} p' = n \\[4pt] n' = -p \end{cases} \]

El signo negativo no tiene consecuencias físicas. Representa una fase global. Desde el punto de vista de la interacción fuerte, \( n' \) y \( p \) son equivalentes.

La transformación puede resumirse así:

\[ R\left(\frac{\pi}{2}\right)\begin{pmatrix} p \\ n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ -p \end{pmatrix} \]

El mensaje físico es directo: protón y neutrón se comportan como componentes de un mismo vector interno, que puede rotarse sin afectar a la interacción fuerte.

Nota. Estas rotaciones no tienen nada que ver con el espacio físico. Son transformaciones puramente internas. La fuerza fuerte permanece invariante bajo ellas, razón por la cual trata a protones y neutrones de manera esencialmente idéntica.

Isospin and Nucleon Transformations

Isospin is not only a tool for classifying bound states. It also provides a coherent framework for understanding how protons, neutrons and pions convert into one another in strong-interaction processes, especially scattering reactions governed by the symmetries of the strong force.

Example

Consider the scattering reaction in which two protons \(p\) collide and produce a deuteron \(d\) together with a positively charged pion \(\pi^{+}\):

$$ p + p \rightarrow d + \pi^{+} $$

At the outset, the proton pair forms an isospin state with total isospin \( I = 1 \) and third-component \( I_3 = +1 \), since each proton contributes \( +\tfrac{1}{2} \).

$$ I = \frac12 + \frac12 = 1 $$

$$ I_3 = \frac12 + \frac12 = 1 $$

Note. The proton and neutron constitute an isospin doublet with \( I = \tfrac{1}{2} \). The proton has \( I_3 = +\tfrac{1}{2} \) and the neutron \( I_3 = -\tfrac{1}{2} \). Pions form an isovector triplet with \( I = 1 \): the \( \pi^{+} \) carries \( I_3 = +1 \), the \( \pi^{0} \) carries \( I_3 = 0 \) and the \( \pi^{-} \) carries \( I_3 = -1 \).

Because two protons cannot bind into a stable state while a proton and a neutron can, the formation of a deuteron necessarily requires one of the protons to convert into a neutron.

This change from \( I_3 = +\tfrac12 \) to \( I_3 = -\tfrac12 \) occurs via emission of a \( \pi^{+} \):

$$ p + p \rightarrow p + n + \pi^{+} $$

The final state contains a deuteron \(d\), a bound \(p+n\) system with \( I = 0 \) and \( I_3 = 0 \), along with a \( \pi^{+} \) carrying \( I = 1 \) and \( I_3 = +1 \).

$$ p + p \rightarrow d + \pi^{+} $$

The third-component \( I_3 \) is strictly conserved, as the initial value \( +1 \) is fully reproduced in the outgoing pion:

$$ \underbrace{p + p}_{I_3 = \frac12 + \frac12 = +1} \rightarrow \underbrace{d + \pi^{+}}_{I_3 = 0 + 1 = +1} $$

Note. The conservation of \( I_3 \) in strong interactions reflects its direct connection to electric charge through the Gell-Mann - Nishijima relation. The total isospin \( I \) need not be conserved, since isospin symmetry can be broken by electromagnetic effects or by the proton - neutron mass difference.

Example 2

Consider next the reaction in which a proton \( p \) and a neutron \( n \) collide to produce a deuteron \( d \) and a neutral pion \( \pi^{0} \):

\[ p + n \rightarrow d + \pi^{0} \]

The proton contributes \( I_3 = +\tfrac12 \), the neutron \( I_3 = -\tfrac12 \), so:

\[ I_3 = \tfrac12 - \tfrac12 = 0 \]

The \( p+n \) system can have total isospin \( I = 0 \) or \( I = 1 \), since combining two isospins \( \tfrac12 \) yields a singlet and a triplet. The deuteron, however, is known experimentally to be an isosinglet, so the reaction proceeds through the \( I = 0 \) channel.

The final state therefore consists of a deuteron with \( I = 0 \) and \( I_3 = 0 \), together with a neutral pion \( \pi^{0} \) with \( I = 1 \) and \( I_3 = 0 \):

\[ p + n \rightarrow d + \pi^{0} \]

The conservation of \( I_3 \) is immediate:

\[ \underbrace{p + n}_{I_3 = \tfrac12 - \tfrac12 = 0} \longrightarrow \underbrace{d + \pi^{0}}_{I_3 = 0 + 0 = 0} \]

No nucleon conversion is required here, since the proton - neutron pair already forms the configuration that binds to the deuteron.

Example 3

Now consider the reaction in which two neutrons \( n \) collide and produce a deuteron \( d \) along with a negatively charged pion \( \pi^{-} \):

\[ n + n \rightarrow d + \pi^{-} \]

Each neutron contributes \( I_3 = -\tfrac12 \), so the initial projection is:

\[ I_3 = -\tfrac12 - \tfrac12 = -1 \]

Since two neutrons do not bind into a stable state, they cannot directly form a deuteron. One of the neutrons must therefore convert into a proton, a process that occurs via emission of a \( \pi^{-} \):

\[ n + n \rightarrow n + p + \pi^{-} \]

The resulting \( p+n \) pair can then bind to form a deuteron with \( I = 0 \) and \( I_3 = 0 \). The emitted pion carries \( I = 1 \) and \( I_3 = -1 \). The final reaction is:

\[ n + n \rightarrow d + \pi^{-} \]

The conservation of the third-component is transparent:

\[ \underbrace{n + n}_{I_3 = -\tfrac12 - \tfrac12 = -1} \longrightarrow \underbrace{d + \pi^{-}}_{0 + (-1) = -1} \]

As in the \( p+p \) case, the formation of the deuteron requires one nucleon to convert so that a \( p+n \) pair, the only configuration that binds, can be produced.

Isospín y Transformaciones de Nucleones

El isospín es una herramienta fundamental para entender cómo se comportan protones, neutrones y piones dentro de la interacción fuerte. Más allá de clasificar estados ligados, permite describir con claridad cómo estas partículas pueden transformarse entre sí en reacciones de dispersión, siguiendo las simetrías propias de la fuerza fuerte. Es una manera eficaz y unificada de leer muchos procesos nucleares que, de otro modo, parecerían desconectados.

Ejemplo

Tomemos la reacción en la que dos protones \(p\) colisionan y generan un deuterón \(d\) junto con un pión positivo \(\pi^{+}\):

$$ p + p \rightarrow d + \pi^{+} $$

Al inicio, el sistema formado por los dos protones tiene isospín total \( I = 1 \) y proyección \( I_3 = +1 \), porque cada protón aporta \( +\tfrac12 \).

$$ I = \frac12 + \frac12 = 1 $$

$$ I_3 = \frac12 + \frac12 = 1 $$

Nota. El protón y el neutrón forman un doblete de isospín con \( I = \tfrac12 \). El protón tiene \( I_3 = +\tfrac12 \) y el neutrón \( I_3 = -\tfrac12 \). Los piones, en cambio, forman un triplete con \( I = 1 \): \( \pi^{+} \) posee \( I_3 = +1 \), \( \pi^{0} \) tiene \( I_3 = 0 \) y \( \pi^{-} \) posee \( I_3 = -1 \).

Como dos protones no pueden formar un estado ligado estable, la única forma de obtener un deuterón es que uno de ellos se convierta en neutrón. Este cambio de identidad ocurre mediante la emisión de un \( \pi^{+} \):

$$ p + p \rightarrow p + n + \pi^{+} $$

El resultado final es un deuterón, que es un sistema ligado \( p+n \) con \( I = 0 \) y \( I_3 = 0 \), acompañado por un \( \pi^{+} \) que transporta la proyección \( I_3 = +1 \):

$$ p + p \rightarrow d + \pi^{+} $$

La conservación de \( I_3 \) se ve claramente en la comparación entre estados inicial y final:

$$ \underbrace{p + p}_{I_3 = +1} \rightarrow \underbrace{d + \pi^{+}}_{I_3 = 0 + 1 = +1} $$

Nota. La proyección \( I_3 \) se conserva en las interacciones fuertes porque está directamente relacionada con la carga eléctrica a través de la fórmula de Gell-Mann y Nishijima. El isospín total \( I \), en cambio, puede cambiar debido a efectos electromagnéticos o a la diferencia de masa entre protón y neutrón.

Ejemplo 2

Veamos ahora la reacción entre un protón \( p \) y un neutrón \( n \) que produce un deuterón \( d \) y un pión neutro \( \pi^{0} \):

\[ p + n \rightarrow d + \pi^{0} \]

La proyección inicial del isospín es nula, ya que los valores de los nucleones se compensan:

\[ I_3 = \tfrac12 - \tfrac12 = 0 \]

El sistema \( p+n \) puede tener \( I = 0 \) o \( I = 1 \), pero el deuterón es un isosinglete, así que la reacción debe avanzar por el canal \( I = 0 \).

En el estado final encontramos un deuterón con \( I = 0 \) e \( I_3 = 0 \), junto con un \( \pi^{0} \) que también tiene \( I_3 = 0 \):

\[ p + n \rightarrow d + \pi^{0} \]

La conservación de \( I_3 \) se verifica sin dificultad:

\[ \underbrace{p + n}_{I_3 = 0} \longrightarrow \underbrace{d + \pi^{0}}_{I_3 = 0} \]

A diferencia del caso anterior, aquí no hace falta que ningún nucleón cambie de identidad. El par protón - neutrón ya es, por sí mismo, la combinación que da lugar al deuterón.

Ejemplo 3

Por último, consideremos la reacción entre dos neutrones \( n \), que produce un deuterón \( d \) y un pión negativo \( \pi^{-} \):

\[ n + n \rightarrow d + \pi^{-} \]

La proyección inicial es:

\[ I_3 = -\tfrac12 - \tfrac12 = -1 \]

Como ocurre con los dos protones, dos neutrones tampoco pueden formar un estado ligado. Para que exista un deuterón, uno de ellos debe transformarse en protón mediante la emisión de un \( \pi

Notas

• Carga eléctrica e isospín
  La relación de Gell Mann Nishijima vincula la carga eléctrica con el isospín mediante $$ Q = I_3 + \tfrac12(A + S). $$ Se aplica a hadrones compuestos por los quarks ligeros \( u, d, s \). Dentro de un multiplete, el estado con mayor carga coincide con \( I_3 = I \), y los demás aparecen en orden decreciente.
• Límites de la simetría protón neutrón
  La simetría vale para el hamiltoniano de la interacción fuerte, no para los nucleones aislados. Intercambiar un único protón y un neutrón no conserva el estado cuántico colectivo debido al principio de exclusión de Pauli. Solo un intercambio simultáneo de todos los protones por todos los neutrones mantiene la simetría exacta.

 Y así continúa la teoría del isospín, una de las ideas más elegantes que emergen del estudio de la fuerza fuerte.