Isospín y dispersión pion-nucleón

La dispersión pion-nucleón depende del isospín porque la interacción fuerte no distingue la carga eléctrica de las partículas y solo es sensible a sus números cuánticos de isospín.

El pion y el nucleón poseen isospín $ I = 1 $ y $ I = \tfrac{1}{2} $, respectivamente. Por esta razón, la interacción solo puede darse en estados con isospín total $ \tfrac{3}{2} $ o $ \tfrac{1}{2} $.

Todos los procesos observados experimentalmente se describen como combinaciones de estos dos, y solo de estos dos, canales de isospín.

Explicación

Consideremos un proceso genérico de dispersión entre un pion $ \pi $ y un nucleón $ N $:

\[ \pi + N \to \pi + N \]

El pion puede ser $ \pi^+ , \pi^0 , \pi^- $.

El nucleón, a su vez, puede ser un protón (p) o un neutrón (n).

Aunque, a primera vista, el proceso de dispersión pueda parecer diferente según las cargas eléctricas implicadas, la interacción fuerte es completamente insensible a la carga. Su comportamiento está determinado únicamente por el isospín.

el pion $ \pi $ tiene isospín $ I = 1 $
el nucleón $ N $ tiene isospín $ I = \tfrac{1}{2} $

Al combinar ambas partículas, el isospín total del sistema solo puede tomar dos valores posibles:

\[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \]

En consecuencia, todos los procesos de dispersión pion-nucleón se reducen a únicamente dos situaciones físicamente distintas:

dispersión con isospín total $ I = \tfrac{3}{2} $
dispersión con isospín total $ I = \tfrac{1}{2} $

No existen otros valores permitidos del isospín total.

Nota. El pion tiene isospín $ I_1 = 1 $, mientras que el nucleón tiene isospín $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. De acuerdo con las reglas de adición del isospín, el isospín total $ I $ puede adoptar cualquier valor comprendido entre $ |I_1 - I_2| $ y $ I_1 + I_2 $, en pasos enteros o semi-enteros. En este caso: \[
|1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Por lo tanto, los únicos valores posibles del isospín total son: \[
I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] De aquí se deduce que: \[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] Este resultado muestra que el sistema pion-nucleón solo puede existir en uno de estos dos estados de isospín total.

Dado que el sistema pion-nucleón solo admite dos valores posibles del isospín total ( $ I = \tfrac{3}{2} $ y $ I = \tfrac{1}{2} $ ), el proceso de dispersión queda completamente descrito por dos amplitudes de dispersión independientes:

$ \mathcal M_{3/2} $, correspondiente al canal con $ I = \tfrac{3}{2} $
$ \mathcal M_{1/2} $, correspondiente al canal con $ I = \tfrac{1}{2} $

La amplitud de dispersión es una magnitud compleja que expresa la amplitud de probabilidad de que una reacción tenga lugar a través de un canal físico concreto.

Nota. En términos más precisos, la amplitud de dispersión es el objeto fundamental de la mecánica cuántica que caracteriza la intensidad de un proceso de dispersión. Las probabilidades físicamente observables se obtienen tomando el módulo al cuadrado de dicha amplitud.

La sección eficaz se obtiene directamente a partir de la amplitud de dispersión.

La sección eficaz es una magnitud física que cuantifica la probabilidad de que una reacción ocurra cuando dos partículas colisionan.

En mecánica cuántica, la sección eficaz es proporcional al módulo al cuadrado de la amplitud de dispersión:

\[ \sigma \propto |\mathcal M|^2 \]

Aunque la sección eficaz tiene dimensiones de área, no representa un área geométrica literal. Se interpreta como un área efectiva que mide la probabilidad del proceso de dispersión.

Desde un punto de vista operativo, la sección eficaz ( \sigma ) se define como

\[ \sigma = \frac{\text{número de reacciones por segundo}}{\text{flujo de partículas incidentes}} \]

En la práctica, se trata del cociente entre el número de reacciones del tipo considerado y el número de partículas incidentes que atraviesan una determinada área por unidad de tiempo.

Si $ \sigma $ es grande, la reacción es probable.
Si $ \sigma $ es pequeña, la reacción es poco frecuente.

Por este motivo, la sección eficaz ( \sigma ) es una magnitud de gran interés experimental. Puede medirse directamente y proporciona una medida cuantitativa de la probabilidad de una reacción de dispersión.

Toda reacción física puede ser pura o mixta

En general, según el estado inicial del proceso de dispersión, la reacción puede ser

pura, cuando el isospín total está determinado de manera unívoca
mixta, cuando el estado inicial es una superposición de distintos valores del isospín total.

El estado inicial de la dispersión es la configuración cuántica del sistema antes de la colisión, es decir, el conjunto de partículas incidentes junto con sus propiedades físicas.

Nota. En la dispersión pion-nucleón, el estado inicial es simplemente el par de partículas que van a colisionar, por ejemplo $ \pi^+ + p $ o $ \pi^- + p $, junto con sus números cuánticos asociados, como la carga eléctrica y el isospín. Este estado inicial determina cómo se descompone el sistema en canales de isospín y, en consecuencia, si la reacción es pura o mixta.

Ejemplo

Consideremos el siguiente proceso de dispersión:

\[ \pi^+ + p \to \pi^+ + p \]

En este caso, el estado inicial es $ \pi^+ + p $.

El primer paso consiste en identificar los valores de la proyección del isospín a lo largo del eje z.

$ \pi^+ $ tiene $ I_3 = +1 $
$ p $ tiene $ I_3 = \tfrac{1}{2} $

Por lo tanto, la proyección total del isospín del estado inicial es

\[ I_3^{\text{tot}} = +1 + \tfrac{1}{2} = +\tfrac{3}{2} \]

¿Qué valores del isospín total $ I $ son compatibles con $ I_3 = +\tfrac{3}{2} $?

En un sistema pion-nucleón, los valores permitidos del isospín total son

\[ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} \]

Este resultado se obtiene directamente a partir de las reglas de adición del isospín. Al combinar un isospín $ I = 1 $ con un isospín $ I = \tfrac{1}{2} $, se generan los valores

\[ I = \tfrac{3}{2}, \qquad I = \tfrac{1}{2} \]

Sin embargo, el multiplete con $ I = \tfrac{1}{2} $ no contiene ningún estado con $ I_3 = +\tfrac{3}{2} $. En consecuencia, el único valor compatible del isospín total es $ I = \tfrac{3}{2} $.

Esto nos permite concluir que el proceso de dispersión $ \pi^+ + p $ corresponde a una reacción de isospín puro.

En este caso, la amplitud de dispersión es $ \mathcal M_{3/2} $, y la sección eficaz es directamente proporcional al módulo al cuadrado de dicha amplitud:

\[ \sigma \propto |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

No intervienen otros canales de isospín ni aparecen términos de interferencia, ya que el estado inicial tiene un isospín total bien definido $ I = \tfrac{3}{2} $.

Por ello, la probabilidad de la reacción está determinada exclusivamente por la dinámica del canal con $ I = \tfrac{3}{2} $.

Ejemplo 2

Consideremos ahora el proceso

\[ \pi^- + p \to \pi^- + p \]

En este caso, el estado inicial es $ \pi^- + p $.

Volvemos a determinar los valores de la proyección del isospín sobre el eje z.

$ \pi^- $ tiene $ I_3 = -1 $
$ p $ tiene $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $

La proyección total del isospín del estado inicial resulta ser

\[ I_3^{\text{tot}} = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2} \]

¿Qué valores del isospín total $ I $ son compatibles con $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $?

Para el sistema pion-nucleón, los valores permitidos del isospín total siguen siendo

\[ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} \]

De acuerdo con las reglas de adición del isospín, la combinación de $ I = 1 $ con $ I = \tfrac{1}{2} $ da lugar a ambos valores:

\[ I = \tfrac{3}{2}, \qquad I = \tfrac{1}{2} \]

En este caso, tanto el multiplete con $ I = \tfrac{1}{2} $ como el multiplete con $ I = \tfrac{3}{2} $ contienen un estado con $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $.

Nota. Un multiplete de isospín total con número cuántico $ I $ incluye todos los estados cuya tercera componente del isospín toma valores entre $ -I $ y $ +I $, en pasos enteros: \[ I_3 = -I, -I+1, \dots , I-1, I \] Para $ I = \tfrac{1}{2} $, los valores permitidos son \[ I_3 = -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2} \] mientras que para $ I = \tfrac{3}{2} $, los valores permitidos son \[ I_3 = -\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2}, +\tfrac{3}{2} \] Dado que el valor $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $ pertenece a ambos conjuntos, existen estados con esta proyección en los dos multipletes.

En consecuencia, el estado inicial $ \pi^- + p $ no es un estado de isospín puro, sino una superposición lineal de estados con isospín total $ I = \tfrac{1}{2} $ y $ I = \tfrac{3}{2} $.

\[ \pi^- p = a\,(I=\tfrac{3}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) + b\,(I=\tfrac{1}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) \]

Los coeficientes $ a $ y $ b $ son complejos y satisfacen la condición de normalización $ |a|^2 + |b|^2 = 1 $.

Esta expresión deja claro que el estado inicial $ \pi^- + p $ no posee un isospín total bien definido, sino que es una combinación coherente de dos estados con distinto isospín total y la misma proyección $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $.

¿Qué cambia en una reacción mixta frente a una reacción pura?

En una reacción mixta, como $ \pi^- + p $, el estado inicial no tiene un isospín total bien definido. Desde el punto de vista físico, esto significa que el proceso de dispersión no transcurre a través de un único canal de isospín, sino mediante una superposición coherente de varios canales.

En este caso, el estado inicial puede descomponerse como una combinación lineal de un estado con $ I = \tfrac{3}{2} $ y otro con $ I = \tfrac{1}{2} $.

Como consecuencia, la dispersión puede producirse parcialmente a través del canal $ I = \tfrac{3}{2} $ y parcialmente a través del canal $ I = \tfrac{1}{2} $. A cada uno de estos canales le corresponde una amplitud de dispersión distinta:

\[ \mathcal M_{3/2} \qquad \text{y} \qquad \mathcal M_{1/2} \]

La amplitud total de dispersión no viene dada por un único término, sino por una combinación lineal ponderada de las amplitudes asociadas a ambos canales:

\[ \mathcal M = c_{3/2} \mathcal M_{3/2} + c_{1/2} \mathcal M_{1/2} \]

Los coeficientes $ c_{3/2} $ y $ c_{1/2} $ están fijados por los coeficientes de Clebsch-Gordan que aparecen en la descomposición del estado inicial.

Nota. En las reacciones puras, como $ \pi^+ + p $, el estado inicial tiene un isospín total bien definido $ I = \tfrac{3}{2} $. En este caso, solo contribuye un único canal de isospín y la amplitud de dispersión coincide directamente con $ \mathcal M_{3/2} $, sin términos adicionales ni interferencias.

El estado es mixto, pero la dinámica puede seleccionar un único canal

En las reacciones mixtas, los distintos canales de isospín no contribuyen necesariamente con el mismo peso. La dinámica de la interacción puede favorecer de manera muy marcada a uno de ellos.

Por ejemplo, aunque el estado inicial $ \pi^- + p $ contiene componentes con $ I = \tfrac{1}{2} $ y $ I = \tfrac{3}{2} $, puede suceder que solo el componente con $ I = \tfrac{3}{2} $ tenga una contribución relevante, mientras que el otro quede prácticamente suprimido.

Esto se debe a la existencia de una resonancia $ \Delta $ con isospín $ I = \tfrac{3}{2} $. Dicha resonancia solo puede formarse en este canal y, en consecuencia, amplifica fuertemente la amplitud de dispersión asociada.

Desde un punto de vista operativo, el sistema se comporta como si existieran dos canales posibles, pero solo uno de ellos resultara dinámicamente dominante.

Por esta razón, en la dispersión $ \pi^- + p $ la interacción procede casi exclusivamente a través del canal con isospín total $ I = \tfrac{3}{2} $. El canal $ I = \tfrac{1}{2} $ aporta una contribución despreciable.

En este régimen, el estado es mixto, pero la dinámica selecciona efectivamente un único canal.

\[ \mathcal M_{3/2} \gg \mathcal M_{1/2} \]

La amplitud total se reduce entonces a

\[ \mathcal M \approx c_{3/2} \mathcal M_{3/2} \]

En consecuencia, la sección eficaz queda dada por

\[ |\mathcal M|^2 \approx |c_{3/2}|^2 |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Nota. Incluso en una reacción mixta, la amplitud total se expresa formalmente como una suma de contribuciones: \[ \mathcal M = c_{3/2} \mathcal M_{3/2} + c_{1/2} \mathcal M_{1/2} \] Cuando un único canal domina por razones dinámicas, como la presencia de la resonancia $ \Delta $, la amplitud total se reduce de forma efectiva a \[ \mathcal M \approx c_{3/2} \mathcal M_{3/2} \] y la sección eficaz pasa a ser \[ |\mathcal M|^2 \approx |c_{3/2}|^2 |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Dado que $ c_{3/2} $ es un coeficiente de Clebsch-Gordan, y que estos coeficientes están completamente determinados por el álgebra del isospín, los cocientes de secciones eficaces en este régimen no dependen de la dinámica microscópica de la interacción, sino únicamente de la estructura de isospín de los estados involucrados.

En general, cuando domina un único canal de isospín, las diferencias entre reacciones están controladas exclusivamente por coeficientes algebraicos.

Como resultado, los cocientes de secciones eficaces adoptan valores numéricos simples y universales.

Por ejemplo, al comparar las secciones eficaces $ \sigma $ de las reacciones $ \pi^+ + p $ y $ \pi^- + p $, se obtiene \[ \frac{\sigma(\pi^+ p)}{\sigma(\pi^- p)} = 3 \] Estos valores están confirmados experimentalmente.

Y así sucesivamente.