Combinaison linéaire de vecteurs
Une combinaison linéaire consiste à additionner plusieurs vecteurs, chacun étant multiplié par un scalaire donné.
Pour être précis, considérons un espace vectoriel V défini sur un corps K. Supposons que l’on choisisse m vecteurs de cet espace, notés v1,...,vm ∈ V, ainsi qu’une famille de scalaires α1,...,αm ∈ K. La combinaison linéaire de ces vecteurs s’écrit alors : $$ v = α_1 v_1 + ... + α_m v_m $$
Un point essentiel est que le vecteur obtenu appartient toujours à l’espace V. En effet, les opérations utilisées - l’addition et la multiplication par un scalaire - sont internes à V, ce qui garantit que le résultat reste dans cet espace.
Exemple
Pour mieux illustrer l’idée, prenons un exemple concret.
Dans l’espace vectoriel V sur R3, considérons les deux vecteurs suivants :
$$ v_1 = \{ 4,5,6 \} $$ $$ v_2 = \{ 7,8,9 \} $$
Choisissons également deux scalaires réels :
$$ α_1 = 1 , \quad α_2 = 2 $$
La combinaison linéaire correspondante s’obtient en multipliant chaque vecteur par son scalaire puis en additionnant les résultats :
$$ v = α_1 v_1 + α_2 v_2 $$
Développons le calcul :
$$ v = 1 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 $$
$$ v = 1 \cdot \{ 4,5,6 \} + 2 \cdot \{ 7,8,9 \} $$
$$ v = \{ 4,5,6 \} + \{ 14,16,18 \} $$
$$ v = \{ 4+14, 5+16, 6+18 \} $$
$$ v = \{ 18,21,24 \} $$
On en conclut que le vecteur \{ 18,21,24 \} est bien le résultat de cette combinaison linéaire.
Combinaison linéaire triviale
Une question naturelle se pose : que se passe-t-il si tous les scalaires sont nuls ? On obtient alors la combinaison linéaire triviale :
$$ v = 0 \cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_m $$
Dans ce cas :
$$ \{ α_1 , ... , α_m \} = \{ 0 , ... , 0 \} $$
La conséquence est immédiate : le vecteur v coïncide avec le vecteur nul.
$$ v = 0 $$
