Sous-espaces vectoriels et combinaisons linéaires
Soit V un espace vectoriel sur un corps K et W une partie de V. On appelle sous-espace vectoriel de V tout sous-ensemble W stable par combinaison linéaire.
En d’autres termes, pour tout
$$ w_1, ..., w_m \in W \quad \text{et} \quad a_1, ..., a_m \in K $$
on a :
$$ a_1 w_1 + \dots + a_m w_m \in W $$
Explication
La condition selon laquelle toute combinaison linéaire d’éléments de W reste dans W se traduit par deux propriétés fondamentales d’un sous-espace vectoriel :
- Pour tous $w_1, w_2 \in W$, leur somme $w_1 + w_2$ appartient encore à W.
- Pour tout scalaire $\lambda \in K$ et tout $w \in W$, le produit $\lambda w$ appartient également à W.
Il en découle que toute combinaison linéaire de vecteurs de W demeure un élément de l’espace vectoriel V.
Par conséquent, W satisfait bien aux conditions requises pour être un sous-espace vectoriel de V.
L’ensemble Lk de toutes les combinaisons linéaires
Étant donnés des vecteurs $v_1, \dots, v_m$ dans un espace vectoriel V sur un corps K, on note $L_k$ l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs à coefficients dans K :
$$ L_k \{ v_1, \dots, v_m \} = \left\{ \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_m v_m \mid \alpha_1, \dots, \alpha_m \in K \right\} $$
L’ensemble $L_k$ est un sous-espace vectoriel de V, car il est stable à la fois par addition et par multiplication scalaire - donc par toute combinaison linéaire.
Il constitue en outre le plus petit sous-espace vectoriel de V contenant les vecteurs $v_1, \dots, v_m$.
Remarque. Dans plusieurs ouvrages d’algèbre linéaire, l’ensemble $L_k$ est désigné par d’autres notations, telles que Link ou spanK.
